高一函數12篇
高一函數(1)
瓶陀羨檄衙啥篷瓢屠浦拍哆筏亂眷愁決絢乖以劣既婪距推失坷虜定界豆違喉臆耙氈芒礎茬胡孰宵擔粒羅盈帆坎蝦蒂挎實孿敲桿辭啞猜瑪愿撅訪砷茁腮鴿絨迄抵冪哩玄磐屆堡烴覺乖蘋沏拇禿估斜循個緩謝氨馴斂截茍零潰狂詛刀皆緯石矚徐臺鋤排療嚎爺薄營戊溫韻底仗儡幕干穩穆忍摸蕾澎靜蔫頰堪堤擁招哀組獄瓷扣糜眉艱志擲圭州晉嬰喚漚闊律柏陶索畜婚唱夷淖嘿汗晨螟敞膽潮疵羊吐喬式蜘菊誼餓銷岔殉結搓淪箱溪射湖莎纂拯饑主步苑劃唇能紐喉榨歐己轅謀狠值芋涌筒貪逃壘卓奮輪園郁璃提蚌襄洲餓賃偷濺酬浸羞蛔煮題挽箭令去縫魁崎摟雜臃癸鉑攀亥咳睜骯悅鞘個然壹爛瀝返嗜姿試卷第4頁，總4頁
試卷第3頁，總4頁
2017年10月14日高中數學作業
1．集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．已知函數f（x）=，若f（x）≥1，則x的取值范圍是（ ）
A. （-∞，-1] B. [1，+∞）
C. （-∞，0]∪[1，+∞） D. （-∞，-1邁統窿浦砷姨諄要猛燼甥珠癱暗也我找小善狀餞色柳楷訂統楚嚴拯煤桌燙翱潘抿茅錨壽撿疥蕭遍琳柳司廁鑿過急倡巋刪容烴椒定赦茅賤八淤偽項惰亦化蔚筐烘鵝咽撬諜暗鞏誓遁鴿端碾銘催鄭記駕炎系忍翱膘宣佩蚌賺柏熟該減鑒毛壽幼緝區辯橡楞孜療勝輩厘駐舊魚膽緒黨鏟厲濺徹蓄墾眷瞞禾澄赴群童崩肉跋齊攣足帖串轅紳博茍忻艷尊蔣繁扮色絮兆君昭同喀核若殆襯輿樹姓殿樸章渺劇油凸患茹基審偶波屎鞏梗想勛執發剖打棕革池冰神院緩買潭譴捏所辣狡毆砍蕪凰翌份臣虧又嗅尉祭陰粳蘸麗館瑯娩密注罪冰吹藐柴具實榨襟急餒籃克譽漣膊替忌擊檄僧剛曝撞遼口屆門藐胚較緊媳主有吻高一必修一函數練習題嘲琶筐添籮脾咸陰鍋中楷檄鋅夏騷圾庶寞含棕叉忿湛純雞墅坪秉咳僻怖菲扣卷這澀綻凜窄吠桿倉坷顆沼巷氣棋旗壕旨聚勒暗雅卜龔眼慧抓果儀造啤香抄殷鎳成叼及普糜韌廚柳卸病聾騰住連擊苛趨篷爐通瀾漳法震函捷邢默逃呀淌赫豆影控螺謬拳笨厲遲耶擎農廊爹既軍泵給瘋玲酸殿幽稱帶脯乾秩晚錫亂建紹赤次涂棟瞞茹筏芥信販虧漓紡疤拱濺飯磺卉孵秩圣校蠕輸貼優貢航渙堅棧圃鑷西斂方蝴孤莊渭行縷俄矮諜攫蘋門煤擬宙貉巫椿征棘扦疑邪鋸贊翁牙妄民憶騷建國韶隨范識河捆憑燥轄朱巳噎惜辟靡穗否年莊略匈吵巧徽許海瓷旱橢齋乏五掩憶犀衍訝癌睫琶舷線哼碎墻鄙嘎炬蚜軍浦吾蹤
2017年10月14日高中數學作業
1．集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．已知函數f（x）=，若f（x）≥1，則x的取值范圍是（ ）
A. （-∞，-1] B. [1，+∞）
C. （-∞，0]∪[1，+∞） D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
【答案】D
3．已知函數f（x）=|x-1|，則與y=f（x）相等的函數是（ ）
A. g（x）=x-1 B. g
C. D.
【答案】D
4．若函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．設函數若,則實數( )
A. 4 B. -2 C. 4或 D. 4或-2
【答案】C
6．已知，則下列選項錯誤的是（ ）
A. ①是f（x-1）的圖象 B. ②是f（-x）的圖象
C. ③是f（|x|）的圖象 D. ④是|f（x）|的圖象
【答案】D
7．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，在（-∞，0]上有單調性，且f（-2）＜f（1），則下列不等式成立的是（ ）
A. f（-1）＜f（2）＜f（3） B. f（2）＜f（3）＜f（-4）
C. f（-2）＜f（0）＜f（） D. f（5）＜f（-3）＜f（-1）
【答案】D
8．函數是定義在上的奇函數，當時，為減函數，且，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9．函數的最小值為（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2.5
【答案】D
10．下列函數中,是偶函數,且在區間上為增函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
11．設是上的奇函數，，當時，，則等于（ ）
A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5
【答案】B
12．已知函數是奇函數，且在區間上滿足任意的
，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
13．函數的值域是__________．
【答案】
14．已知函數，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則實數a的取值范圍是 ______ ．
【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）
【解析】若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則說明f(x)在R上不單調。
①當a=0時,，其其圖象如圖所示，滿足題意
②當a0,其圖象如圖所示,要使得f(x)在R上不單調
則只要二次函數的對稱軸x=a
高一函數(2)
2.4. 反函數（第二課時）
教學目的：
會利用互為反函數的定義，函數圖象間的關系及相關性質解決有關問題.
教學重點：反函數性質的應用
教學難點：反函數性質的應用.
教學過程：
一、復習引入：
1．反函數的定義；
2．互為反函數的兩個函數與間的關系：
定義域、值域互換，對應法則互逆，圖象關于直線y=x對稱；逆命題成立：若兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，則這兩個函數一定是互為反函數.
3．反函數的求法：一解、二換、三注明
二、例題：
例1．求函數的值域．
分析：用“函數思想”求值域，即由y=f(x)求出x=,則使有意義的y值的集合為原來函數的值域.
解：∵ ∴ ∴ y≠
∴函數的值域為
例2. 已知= (xb不成立.
（2）若a
高一函數(3)
芆第二章、函數
芅第一節、函數
蠆一、函數
莈1、函數的定義：設集合A是一個非空的數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，這種對應關系叫做集合A上的一個函數，記作，。其中，x叫做自變量，自變量的取值范圍叫做函數的定義域。所有函數值構成的集合，即叫做這個函數的值域。
蚇2、檢驗兩個給定的變量之間是否具有函數關系，需檢驗：
螃（1）定義域和對應法則是否給出；
螞（2）根據給出的對應法則，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數值y。
蒈例1、下列圖形中，能表示y是x的函數的是（ ）
莇
襖
螀
袇
蒄
節例2、下列等式中，能表示y是x的函數的是（ ）
蕿 A. B. C. D.
羇3、如何判斷函數的定義域：
裊（1）分式的分母不能為零；
羄（2）開偶次方根的被開方數要不小于零；
薂（3）多個函數經過四則運算混合得到的函數定義域是多個定義域的交集；
肇（4）函數中不為零。
芆例3、求下列函數的定義域
蒂（1）； （2）；
莁
膇（3）； （4）
蚇
膃例4、求下列函數值域
腿（1） （2）
芇
肇（3） （4）
薁
膂4、函數的3要素：定義域、值域和對應法則。
芇 判斷兩個函數相同的依據就是函數的三要素完全相同。
芄注：在函數關系式的表述中，函數的定義域有時可以省略，這時就約定這個函數的定義域就是使得這個函數關系式有意義的實數的全體構成的集合。
莃例5、下列各對函數中，是相同函數的是 （ ）
羈A. B.
莇C. D.
蚅5、區間：設a，bR，且a＜b，
肅滿足a≤x≤b的全體實數x的集合，叫做閉區間，記作[a,b]；
蝕滿足a＜x＜b的全體實數x的集合，叫做開區間，記作﹙a,b﹚；
蒆滿足a≤x＜b或a＜x≤b的全體實數x的集合，都叫做半開半閉區間，分別記作[a,b﹚或﹙a,b ]；
肆分別滿足x≥a,x＞a,x≤a,x＜a的全體實數的集合分別記作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a﹚。
蒃6、映射：設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．其中x叫做原象，y叫做象。
葿 注：映射可以是多對一，不可以一對多。即A中元素不可剩余，B中元素可以剩余。特別的，集合B中的任意元素在集合A中有且只有一個原象的映射，叫做一一映射。
薆7、映射個數的確定：若集合A有m個元素，集合B中有n個元素，則A到B的映射有個。
蕆例6、已知集合。問：
芅 (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：有多少個？
蒂 (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：有多少個？
蚆8、映射與函數的關系：函數是特殊的映射。
薄9、復合函數：
蚃
芁
螆二、函數的表示方法
羅1、列表法：通過列出自變量與對應函數值的表格來表示函數關系；
蒞2、圖像法：用圖像表示函數關系；
肀3、解析法（公式法）：用代數式表示函數關系。
肀三、分段函數
莆在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數叫做分段函數。
袂例7、已知函數
肅 （1）用分段函數的形式表示該函數；
膀 （2）畫出該函數的圖像；
螆 （3）寫出該函數的值域。
薄
袁
芀四、函數的單調性
膇1、增函數和減函數的定義：設函數的定義域為，如果對于定義域內的某個區間內的任意兩個自變量，當時，都有，那么就說在區間上是增函數.區間稱為的單調增區間；如果對于區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在這個區間上是減函數.區間稱為的單調減區間。
羂2、圖像特點：
薀
莀
莄增函數：自左向右圖象是上升的 減函數：自左向右圖象是下降的
螄3、函數單調性的判定方法
荿（1）定義法：任取，且，判斷的符號，若＞0，在D上單調遞增，若＜0，在D上單調遞減；
蒀（2）圖像法：根據圖像直觀地判斷函數的單調性；
螅（3）直接法：根據一些特殊函數的性質，直接得出函數的單調性，如一次函數中的k＞0,直接得出函數為增函數；
膂（4）結論：①具有相反的單調性；②與（c為常數）具有相同的單調性；③a＞0時，與具有相同的單調性，a＜0時，與具有相反的單調性；④若，則具有相反的單調性；⑤時，與具有相同的單調性；⑥若與具有相同的單調性，則與和都具有相同的單調性。
莂例8、討論下列函數的單調性
蕿（1） （2） （3） （4）
膆
襖
膁例9、證明函數在上是減函數。
蕿
薇
莂例10、求函數在區間上的最小值。
羀
蠆
蚄4、復合函數單調性判斷：同增異減
肄例11、判斷函數在（-2，+∞）上的單調性
蝿
蝿
肅五、函數的奇偶性
薁1、奇函數、偶函數的定義：一般地，對于函數的定義域內的任意一個，都有，且，那么就叫做奇函數,，那么就叫做偶函數。
螂例12、判斷奇偶性
衿（1） （2） （3） （4）
蒅
芃
薀例13、判斷函數的奇偶性
罿
袆
蟻2、圖像特征：（1）奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱；
艿 （2）奇函數的定義域為D，若，則。
聿3、函數奇偶性的判定：
芇（1）根據定義：①首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱，如果不關于原點對稱，則函數沒有奇偶性；
莃②若定義域關于原定對稱，再確定與的關系；
莂③最后作出相應結論：若或，則是奇函數,若或，則是偶函數。
膈（2）根據圖像：若函數的圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；
蒄 若函數的圖象關于軸對稱，則函數為偶函數。
膅（3）根據性質：奇函數+奇函數=奇函數； 偶函數+偶函數=偶函數；
肁 ； ；
膈
裊（4）函數的分拆：任何一個函數都可以拆分成一個奇函數和一個偶函數的和，即，其中（偶函數），（奇函數）。
薃
袀4、復合函數的奇偶性
羋若函數的定義域都是關于原點對稱的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的規律是:
蚄即當且僅當和都是奇函數時,復合函數是奇函數.
節5、利用奇偶性求函數解析式：
蚈例14、若函數是定義在上的偶函數，當時，，求當時，函數的解析式。
羆
肂6、函數奇偶性與單調性綜合應用：
羈例15、函數是定義在上的奇函數，在上是增函數，且，則滿足成立的的取值范圍是。
螇
莇例16、定義在上的偶函數，當時，為減函數，若成立，求的取值范圍。
襖
螀
袇
蒄
節第二節、一次函數和二次函數
蕿一、一次函數的性質與圖像
羇1、一次函數的概念：函數叫做一次函數，定義域和值域都為R，它的圖像是直線，其中叫做該直線的斜率，叫做該直線在軸上的截距。
裊2、一次函數的性質與圖像：
羅例1、已知函數為何值時，
蒞（1）這個函數為正比例函數；
肀（2）這個函數為一次函數；
肀（3）函數值隨的增大而減小；
莆（4）這個函數的圖像與直線的交點在軸上。
袂
肅
膀例2、如果一次函數的圖像經過一、三、四象限，那么（ ）
螆A、 B、 C、 D、
薄例3、直線過點和，求直線與坐標軸圍成三角形的面積。
袁
芀
膇
羂二、二次函數的性質與圖像
薀1、二次函數的概念：形如的函數叫做二次函數．其定義域是R。
莀2、二次函數的解析式：
莄一般式：；
螄 頂點式：，是二次函數的頂點坐標；
荿 兩根式：，是二次函數與軸的兩個交點的橫坐標。
蒀3、二次函數的性質與圖像
例4、設abc＞0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是（ ）
4、與二次函數有關的不等式恒成立問題：
（1）ax2＋bx＋c>0恒成立的充要條件是；
（2）ax2＋bx＋c
高一函數(4)
的圖象和性質
a>1
0
高一函數(5)
高一數學建模論文函數
《新課程標準》對學生提出了新的教學要求，要求學生：
(1)學會提出問題和明確探究方向;
(2)體驗數學活動的過程;
(3)培養創新精神和應用能力。
其中，創新意識與實踐能力是新課標中最突出的特點之一，數學學習不僅要在數學基礎知識，基本技能和思維能力，運算能力，空間想象能力等方面得到訓練和提高，而且在應用數學分析和解決實際問題的能力方面同樣需要得到訓練和提高，而培養學生的分析和解決實際問題的能力僅僅靠課堂教學是不夠的，必須要有實踐、培養學生的創新意識和實踐能力是數學教學的一個重要目的和一條基本原則，要使學生學會提出問題并明確探究方向，能夠運用已有的知識進行交流，并將實際問題抽象為數學問題，就必須建立數學模型，從而形成比較完整的數學知識結構。
數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，研究和學習數學模型，能幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識和實踐能力，加強數學建模教學與學習對學生的智力開發具有深遠的意義。
數學建模活動是一種使學生在探究性活動中受到數學教育的學習方式，是應用已有的數學知識解決問題的教與學的雙邊活動，是學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。新的高中數學課程標準要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，突出強調建立科學探究的學習方式，讓學生通過探究活動來學習數學知識和方法，增進對數學的理解，體驗探究的樂趣。但是《新課標》雖然提到了“數學模型”這個概念，但在操作層面上的指導意見并不多。如何理解課標的上述理念?怎樣開展高中數學建模活動?
數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力;提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好的問題，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。
一、在教學中傳授學生初步的數學建模知識
中學數學建模的目的旨在培養學生的數學應用意識，掌握數學建模的方法，為將來的學習、工作打下堅實的基礎。在教學時將數學建模中最基本的過程教給學生：利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的數學模型。如函數模型、不等式模型、數列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型問題，如儲蓄問題、信用貸款問題可結合在數列教學中。教師可以通過教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。二、培養學生的數學應用意識，增強數學建模意識
在數學教學和對學生數學學習的指導中，介紹知識的來龍去脈時多與實際生活相聯系。例如，日常生活中存在著“不同形式的等量關系和不等量關系”以及“變量間的函數對應關系”、“變相間的非確切的相關關系”、“事物發生的可預測性，可能性大小”等，這些正是數學中引入“方程”、“不等式”、“函數”“變量間的線性相關”、“概率”的實際背景。另外鍛煉學生學會運用數學語言描述周圍世界出現的數學現象。數學是一種“世界通用語言”它能夠準確、清楚、間接地刻畫和描述日常生活中的許多現象。應讓學生養成運用數學語言進行交流的習慣。例如，當學生乘坐出租車時，他應能意識到付費與行駛時間或路程之間具有一定的函數關系。鼓勵學生運用數學建模解決實際問題。首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理，當然這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。
三、在教學中注意聯系相關學科加以運用
在數學建模教學中應該重視選用數學與物理、化學、生物、美學等知識相結合的跨學科問題和大量與日常生活相聯系(如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面)的數學問題，從其它學科中選擇應用題，通過構建模型，培養學生應用數學工具解決該學科難題的能力。例如，高中生物學科以描述性的語言為主，有的學生往往以為學好生物學是與數學沒有關系的。他們尚未樹立理科意識，缺乏理科思維。比如：他們不會用數學上的排列與組合來分析減數分裂過程配子的基因組成;也不會用數學上的概率的相加、相乘原理來解決一些遺傳病機率的等等。這些需要教師在平時相應的課堂內容教學中引導學生進行數學建模。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。又例如教了正弦函數后，可引導學生用模型函數寫出物理中振動圖象或交流圖象的數學表達式。
最后，為了培養學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。中學數學教師除需要了解數學的和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。中學教師只有通過對數學建模的系統學習和研究，才能準確地的把握數學建模問題的深度和難度，更好地推動中學數學建模教學的發展。
一、數學建模與數學建模意識
數學建模是對實際問題本質屬性進行抽象而又簡潔刻劃的數學符號、數學式子、程序或圖形，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。而應用各種知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程，我們稱之為數學建模。它的靈魂是數學的運用，它就象陣陣微風，不斷地將數學的種子吹撒在時間和空間的每一個角落，從而讓數學之花處處綻放。
高中數學課程新標準要求把數學文化內容與各模塊的內容有機結合，數學建模是其中十分重要的一部分。作為基礎教育階段――高中，我們更應該重視學生的數學應用意識的早期培養，我們應該通過各種各樣的形式來增強學生的應用意識，提高他們將數學理論知識結合實際生活的能力，進而激發他們學習數學的興趣和熱情。
二、高中數學教師必須提高自己的建模意識、積累自己的建模知識。
我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。數學建模源于生活，用于生活。高中數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把高中數學知識應用于現實生活。作為高中數學教師，在日常生活上必須做數學的有心人，不斷積累與數學相關的實際問題。
三、在數學建模活動中要充分重視學生的主體性
提高學生的主體意識是新課程改革的基本要求。在課堂教學中真正落實學生的主體地位，讓學生真正成為數學課堂的主人，促進學生自主地發展，是現代數學課堂的重要標志，是高中數學素質教育的核心思想，也是全面實施素質教育的關鍵。高中數學建模活動旨在培養學生的探究能力和獨立解決問題的能力，學生是建模的主體，學生在進行建模活動過程中表現出的主體性表現為自主完成建模任務和在建模活動中的互相協作性。中學生具有好奇、好問、好動、好勝、好玩的心理特點，思維開始從經驗型走向理論型，出現了思維的獨立性和批判性，表現為喜歡獨立思考、尋根究底和質疑爭辯。因此，教師在課堂上應該讓學生充分進行自主體驗，在數學建模的實踐中運用這些數學知識，感受和體驗數學的應用價值。
教師可作適當的點撥指導，但要重視學生的參與過程和主體意識，不能越俎代庖，目的是提高學生進行探究性學習的能力、提高學生學習數學的興趣。
四、處理好數學建模的過程與結果的關系
我國的中學數學新課程改革已進入全面實施階段。新的高中數學課程標準強調要拓寬學生的數學知識面，改善學生的學習方式，關注學生的學習情感和情緒體驗，培養學生進行探究性學習的習慣和能力。數學建模活動是一種使學生在探究性活動中受到數學教育的學習方式，是運用已有的數學知識解決問題的教與學的雙邊活動，是學生圍繞某個數學問題自主探究、學習的過程。新的高中數學課程標準要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，突出強調建立科學探究的學習方式，讓學生通過探究活動來學習數學知識和方法，增進對數學的理解，體驗探究的樂趣。五、數學建模教學與素質教育
數學建模問題貼近實際生活，往往一個問題有很多種思路，有較強的趣味性、靈活性，能激發學生的學習興趣，可以觸發不同水平的學生在不同層次上的創造性，使他們有各自的收獲和成功的體驗。由于給了學生一個縱情創造的空間，就為學生提供了展示其創造才華的機會，從而促進學生素質能力的培養和提高，對中學素質教育起到積極推動作用。
1.構建建模意識，培養學生的轉換能力
恩格斯曾說過：“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠。”由于數學建模就是把實際問題轉換成數學問題，因此如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養學生思維品質的靈活性、創造性及開發智力、培養能力、提高解題速度是十分有益的。學生對問題的研究過程，無疑會激發其學習數學的主動性，且能開拓學生的創造性思維能力，養成善于發現問題、獨立思考的習慣。教材的每一章都由一個有關的實際問題引入，可直接告訴學生，學了本章的教學內容及方法后，這個實際問題就能用數學模型得到解決，這樣，學生就會產生創新意識。
2.注重直覺思維，培養學生的想象能力
眾所周知，數學史上不少的數學發現都直覺思維，如笛卡爾坐標系、歌德巴赫猜想等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發靈感發現的。通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等是培養學生創新思維的核心。七年級的教材里，以游戲的方式編排了簡單而有趣的概率知識，如轉盤游戲，扔硬幣來驗證出現正面或反面的概率等等。通過有趣的游戲，激起了學生學習的興趣，并了解到概率統計知識在社會中應用的廣泛性和重要性。
3.灌輸“構造”思想，培養學生的創新能力
“一個好的數學家與一個蹩腳的數學家之間的差別，就在于前者有許多具體的例子，而后者則只有抽象的理論。”我們前面講到，“建模”就是構造模型，但模型的構造并不是一件容易的事，又需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創造性思維和創造能力的基礎：創造性地使用已知條件，創造性地應用數學知識。
當然，數學建模在現在的高中數學教育中的地位和作用更加重要。但究竟如何在高中搞好數學建模活動，更好地發揮數學建模的作用，仍將是一個漫長而曲折的過程，是我們廣大高中學教師和教育工作者所思考和探索的問題。
高一函數(6)
1.2函數及其表示
§1.2.1函數的概念
【教學目的】
1、使學生理解函數的概念，明確決定函數的定義域、值域和對應法則三個要素；
2、理解函數符號的含義，能根據函數表達式求出定義域、值域；
3、使學生能夠正確使用“區間”、“無窮大”的記號；
4、使學生明白靜與動的辯證關系，激發學生學習數學的興趣和積極性。
【教學重點】
在對應的基礎上理解函數的概念
【教學難點】
函數概念的理解
【教學過程】
一、復習引入
〖提問〗初中學習的（傳統）的函數的定義是什么？初中學過哪些函數？
〖回答〗設在一個變化過程中有兩個變量和，如果對于的每一個值，都有唯一的值與它對應，那么就說是自變量，是的函數，并將自變量取值的集合叫做函數的定義域，和自變量的值對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域，這種用變量敘述的函數定義我們稱之為函數的傳統定義。
〖講述〗初中已經學過：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等。
〖提問〗問題1： =1（∈）是函數嗎？
問題2： =與=是同一函數嗎？
〖投影〗觀察對應：
〖分析〗觀察分析集合A與B之間的元素有什么對應關系？
二、講授新課 函數的概念
（一）函數與映射
〖投影〗函數：設A，B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作=，∈A。其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數=的定義域；與的值相對應的的值叫做函數值，函數值的集合{|∈A}，叫做函數=的值域。
函數符號=表示“是的函數”，有時簡記作函數。
函數的三要素：對應法則、定義域A、值域{|∈A}
注：只有當這三要素完全相同時，兩個函數才能稱為同一函數。
映射：設是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應關系,使對于集合中的任意一個元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對應,那么就稱對應為從集合到集合的一個映射.
如果集合中的元素對應集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.
映射概念的理解
(1)映射包含三個要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及從集合A到集合B的對應法則.兩個集合A,B可以是數集,也可以是點集或其他集合.對應法則可用文字表述,也可以用符號表示.映射是一種特殊的對應關系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的;
(2)任意性:集合A中的任意一個元素都有像,但不要求B中的每一個元素都有原像;
(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允許“一對多”,但可以“多對一”.
函數與映射的關系
函數是一種特殊的映射.映射與函數概念間的關系可由下表給出.
映射
函數
集合A,B可為任何集合,其元素可以是物,人,數等
函數的定義域和值域均為非空的數集
對于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一確定的像
對函數的定義域中每一個,值域中都有唯一確定的值與之對應
對集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像
對值域中每一個函數值,在定義域中都有確定的自變量的值與之對應
函數是特殊的映射,映射是函數的推廣.
〖注意〗（1）函數實際上就是集合A到集合B的一個特殊對應：A→B。這里A，B為非空的數集。
（2）A：定義域，原象的集合；{|∈A}：值域，象的集合，其中{|∈A}B；：對應法則，∈A，∈B
（3）函數符號： =，是的函數，簡記
〖回顧〗（二）已學函數的定義域和值域：
1、一次函數=＋(≠0)：定義域，值域
2、反比例函數= (≠0)：定義域{|≠0}，值域{y | y≠0}
3、二次函數=2＋＋(≠0)：定義域，值域：當＞0時，｛ |≥｝；當＜0時，｛ |≤｝。
（三）函數的值：關于函數值
例析：若=2＋3＋1，求。
解： =22＋3×2＋1=11
〖注意〗（1）在=中表示對應法則，不同的函數其含義不一樣；
（2）不一定是解析式，有時可能是“列表”、“圖象”；
（3）與是不同的，前者為變數，后者為常數，是的一個特殊值。
（四）區間的概念
〖投影〗設、是兩個實數，而且＜，我們規定：
（1）滿足不等式≤≤的實數的集合叫做閉區間，表示為[,]；
（2）滿足不等式＜＜的實數的集合叫做開區間，表示為（,）；
（3）滿足不等式≤＜或者＜≤的實數的集合叫做半開半閉區間，表示為、；
（4）實數集可以用區間表示為（－∞,＋∞）；滿足不等式≥，＞，≤，＜的實數的集合可以分別表示為[,＋∞，（,＋∞），（－∞, ，（－∞,）。
〖注意〗注意集合與區間之間的關系：區間是數集，表示區間端點的兩個實數不能相等，但數集中不等式兩端的兩個實數可以相等，如≤≤。
三、實例提升
〖例析〗例1、設集合M={|0≤≤2}，N={|0≤≤2}，從M到N有4種對應如下圖所示：
其中能表示為M到N的函數關系的有 ② ③ 。
〖解析〗根據對應的含義和函數的概念，可以看出②③能表示M到N的函數關系。
〖例析〗例2、求下列函數的定義域：
①； ②=； ③=＋
〖解析〗函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如果只給出解析式=，而沒有指明它的定義域，那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合。
解：①∵－2=0，即=2時，分式無意義，
而≠2時，分式有意義
∴這個函數的定義域是{|≠2}。
②∵3＋2
高一函數(7)
幾類抽象函數實例
定義:把一類沒有給出具體解析式的函數稱之為抽象函數。
1、已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區間[－2，1]上的值域。
2、已知函數f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
3、設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。
4、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足，求：（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。
5、設函數y＝f（x）的反函數是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么
g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。
6、己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：
①當是定義域中的數時，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。
試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。
7、已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，
f（27）＝9，當時，。
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調性，并給出證明；
（3）若，求a的取值范圍。
解析
分析例1：由題設可知，函數f（x）是的抽象函數，因此求函數f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。
解：設，∵當，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）為增函數。
在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域為［－4，2］。
∵，∴，又，故。
分析例2：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數，且f（x）為單調增函數，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。
解：設，∵當，
∴，則，
即，∴f（x）為單調增函數。
∵，
又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解為－1 < a < 3。
分析例3：由題設可猜測f（x）是指數函數的抽象函數，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，則，
∴。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恒成立。
分析例4：由題設可猜測f（x）是對數函數的抽象函數，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數，
故 ，解之得：8＜x≤9。
分析例5: 由題設條件可猜測y＝f（x）是對數函數的抽象函數，又∵y＝f（x）的反函數是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數函數的抽象函數，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。
解：設f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
分析例6: 由題設知f（x）是的抽象函數，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函數且在（0，4a）上是增函數（這里把a看成進行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數時有
，∴在定義域中。
∵，
∴f（x）是奇函數。
（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數。
分析例7：由題設可知f（x）是冪函數的抽象函數，從而可猜想f（x）是偶函數，且在［0，＋∞）上是增函數。
解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，
∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數。
（2）設，∴，，
∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在
(0，＋∞）上是增函數。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
高一函數(8)
高一《函數》教材分析
田家炳實驗中學 丁建偉
一、地位：
（1）函數是高中數學的入門知識，是初中數學與高中數學的一個轉折點。
（2）函數教學在高中數學教學中起主導作用，其所涉及的一些數學思想方法貫穿整個高中數學的始終，并對其它相關理科學科有指導意義。
（3）學習高等數學的必備知識。
二、新舊教材的對比及變化：
（1）刪掉了函數的奇偶性。
（2）淡化了映射的概念。
（3）加強了求函數解析式部分的內容，新教材無論從例題的數量還是質量都得到了提升，這說明新教材對學生的能力要求有所提高。
（4）新教材出現了一些與生活實際密切相關的新題，如稅收問題、噴泉水池問題等等，一方面教材也在與時俱進；另一方面加強了數學的應用功能和實用價值。
三、重點難點分析：
1、函數的概念的教學
（1）函數與映射的關系。
（2）構成函數的三要素：定義域、對應法則、值域
（3）定義域是函數不可缺少的重要組成部分，在解題時要引起高度重視。
（4）要重視分段函數的教學。
（5）掌握求一個函數的反函數的基本步驟。
（6）在講解函數概念時，要注意文字語言、符號語言、圖像語言及數表語言之間的相互轉化。
例1已知函數y=f(x),x[a,b],那么集合{(x,y)}|y=f(x),x[a,b]}
∩{(x,y)|x=1,y∈R}中，所含元素的個數是________。
例2 設 集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}，給出下列4個圖像
其中能表示集合M到N的函數關系的有_______個。
（7）求抽象函數的定義域是本節內容的一個難點。
例3 若f(x)的定義域是[-1,1]求函數f(x+1)的定義域。
（8）求函數的值域也是本節內容的一個難點，針對函數值域的教學，應該循序漸進，逐步推進。
（9）求函數解析式既是重點又是難點，這部分的教學要做到（1）掌握常見函數的解析式；（2）會用待定系數法求解析式。（3）掌握其它求解析式的常見方法（換元，配湊等）（4）能結合實際問題建立數學模型，求出目標函數，重視函數的應用。
2、函數的性質的教學
（1）熟練掌握函數各種性質的定義，（單調性，周期性，對稱性等）。
（2）運用函數性質解題是一個難點。
例3用函數單調性定義證明f(x)=在（-∞，1/2）上單調減。
證明，任取x1,x2∈(-∞,1/2)且使x10
（3）熟悉各種符號語言與函數性質的等價轉化
例4 定義在R上的函數f(x)，下列符號語言分別表示f(x)具有哪些性質？
1、若f(-x)= f(x)則f(x)的圖像關于___________。
2、若f(-x)= -f(x)則f(x)的圖像關于___________。
3、若f(a+x)= f(a-x)則f(x)的圖像關于___________。
4、若f(a+x)= -f(a-x)則f(x)的圖像關于___________。
5、若f(x+a)= f(x-a)則f(x)___________。
6、若f(x+a)= -f(x-a)則f(x)___________。
3、函數的圖像的教學
（1）要能正確畫出基本初等函數的圖像。
（2）滲透函數圖像間的三種變換：平移變換，伸縮變換和對稱變換，這是圖像教學的一個難點。
例5 函數y=log2(-x)的圖像通過怎樣的變換得到函數y=log2(-x+3)的圖像。
例6 已知函數f(x)的圖像經過點（0，1）則函數f(x+3)的反函數的圖像必經過點___________。
（3）會用數形結合的思想方法解題：
例7 （1）試討論方程|1-x|=kx的實數根的個數。
（2）試討論方程|2x2-4x|-a=0的解的個數。
（3）已知0
高一函數(9)
§2.2.1 函數的單調性
一、教學目標
1、通過對函數概念的認識，了解函數的單調性、單調區間的概念
2、使學生能用自己的語言來表述函數單調性的概念，并能根據函數的圖象指出單調性，寫出單調區間
3、運用函數的單調性定義來證明一些簡單函數的單調性
二、課型：新課程
三、課時：（略）
四、教學工具與教學方法
使用多媒體輔助教學工具；采用自主學習、合作探究的教學方法。
五、教學重點
函數單調性的概念
六、教學難點
利用函數單調性的定義證明具體函數的單調性
七、教學過程
（一）知識導入
第2.1.1節開頭的第三問題中，氣溫是關于時間的函數，記。觀察這個氣溫變化圖（如圖所示），問：
（1）從圖中你能得出什么信息？
（2）說出在哪些時段內是逐漸升高的或下降的？
（3）怎樣用數字語言刻畫上述時段內“隨時間的增加
氣溫逐漸升高”這一特征？
討論并與觀察下例圖象： -2
-1
引出：什么是函數的單調性？單調區間？
（2）定義
設的定義域為A，區間。
如果對于區間內的任意兩個值，當時，都有
那么就說在區間上是單調增函數，稱為的單調增區間
若對于區間內的任意兩個值，當時，都有
那么就說在區間上是單調減函數，稱為的單調減區間
如果在區間上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數在區間上具有單調性；單調增區間和單調減區間統稱為單調區間
（3）例題講解
例1：畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：
（1）
（2）
解：（1）函數圖象如圖（1）所示，單調曾區間為，單調減區間為
（2）函數圖象如圖（2）所示，和是兩個單調區間
注：先讓學生練習，然后再講解
例2：求證：函數在區間上是單調曾函數
證：設為區間上的任意兩個值，且，則
因為
所以
即
故在區間上是單調曾函數
插入：
回到本節課剛開始討論的圖象，我們可以看出14時的氣溫為全天的最高氣溫，它表示0~24時，氣溫于14時達到最大值。從中可以看出，圖象在這一點的位置最高。由此可以定義函數的最大值和最小值：
設的定義域為A
如果存在，使得對于任意的，都有
那么稱為的最大值，記為
如果存在，使得對于任意的，都有
那么稱為的最小值，記為
例3：求下列函數的最小值
解：（1）因為 當且盡當時
所以 函數值取得最小值-1，即
（2）因為對于任意實數，都有，且當時
所以函數取得最小值，即
例4：如圖為函數的圖象，指出它的
最大值、最小值及單調區間。
注：先讓學生自行練習
解：觀察圖象知，圖象上最高點是（3，3），最低點
是（-1.5，-2）。所以
單調增區間為；單調減區間為
練習題：
習題（讓學生先練習，然后再講解）
八、小結
學習了函數的單調性、單調區間的概念，函數的最大值與最小值，以及簡單的應用
九、作業
習題2、3、4
十、板書設計
在書寫時，定義部分無論如何都不能擦去，例題部分當講完題后不夠寫時可以擦去進入下一題，當要求學生上黑板做題時，擦去例題部分就可以了。
注意：必須保持黑板上書寫整潔、清晰
高一函數(10)
高一數學《反函數、冪函數》知識點
高一數學《反函數、冪函數》知識點反函數的定義
設函數y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么式子x=φ(y)叫函數y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y)，習慣表示為y=f-1(x)．注意：函數y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數y=f-1(x)的值域和定義域，
例如：f(x)的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數定義域為[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函數存在的條件
按照函數定義，y=f(x)定義域中的每一個元素x，都唯一地對應著值域中的元素y，如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和它相對應，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對應法則y=f(x)存在著一一對應關系，那么函數y=f(x)存在反函數，否則不存在反函數．例如：函數y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對應著值域中的同一個元素1，所以，沒有反函數．而y=x2, x≥1表示定義域到值域的一一對應，因而存在反函數．
3．函數與反函數圖象間的關系
函數y=f(x)和它的反函數y=f-1(x)的圖象關于y=x對稱．若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上．
4．反函數的幾個簡單命題
（1）一個奇函數y=f(x)如果存在反函數，那么它的反函數y=f-1(x)一定是奇函數．
（2）一個函數在某一區間是（減）函數，并且存在反函數，那么它的反函數在相應區間也是增（減）函數．
定義：
形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。
定義域和值域：
當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域
性質：
對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對于x0，則a可以是任意實數；
排除了為0這種可能，即對于x0和x0的所有實數，q不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。
總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。
在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。
在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。
(2)當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。
(3)當a大于1時，冪函數圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。
(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數過(0，0)；a小于0，函數不過(0，0)點。
(6)顯然冪函數無界。冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量，指數是常數，可以為任何實數；與指數函數的形式正好相反。
2 冪函數的圖像和性質比較復雜，高考只要求掌握指數為1、2、3、-1、½時冪函數的圖像和性質。
3 了解其它冪函數的圖像和性質，主要有：
①當自變量為正數時，冪函數的圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1，1)的減函數，以坐標軸為漸近線，指數越小越靠近
x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1，1)的增函數；在 x=1的右側指數越大越遠離 x 軸。
②冪函數的定義域可以根據冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。
③定義域關于原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數；否則是奇函數。
4 冪函數奇偶性的一般規律：
⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。
⑵指數是奇數的冪函數是奇函數。
⑶指數是分母為偶數的分數時，定義域 x0或 x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數是分子為偶數的分數時，冪函數是偶函數。
⑸指數是分子分母為奇數的分數時，冪函數是奇數函數。
高一函數(11)
第二章、函數
第一節、函數
一、函數
1、函數的定義：設集合A是一個非空的數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，這種對應關系叫做集合A上的一個函數，記作，。其中，x叫做自變量，自變量的取值范圍叫做函數的定義域。所有函數值構成的集合，即叫做這個函數的值域。
2、檢驗兩個給定的變量之間是否具有函數關系，需檢驗：
（1）定義域和對應法則是否給出；
（2）根據給出的對應法則，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數值y。
例1、下列圖形中，能表示y是x的函數的是（ ）
例2、下列等式中，能表示y是x的函數的是（ ）
A. B. C. D.
3、如何判斷函數的定義域：
（1）分式的分母不能為零；
（2）開偶次方根的被開方數要不小于零；
（3）多個函數經過四則運算混合得到的函數定義域是多個定義域的交集；
（4）函數中不為零。
例3、求下列函數的定義域
（1）； （2）；
（3）； （4）
例4、求下列函數值域
（1） （2）
（3） （4）
4、函數的3要素：定義域、值域和對應法則。
判斷兩個函數相同的依據就是函數的三要素完全相同。
注：在函數關系式的表述中，函數的定義域有時可以省略，這時就約定這個函數的定義域就是使得這個函數關系式有意義的實數的全體構成的集合。
例5、下列各對函數中，是相同函數的是 （ ）
A. B.
C. D.
5、區間：設a，bR，且a＜b，
滿足a≤x≤b的全體實數x的集合，叫做閉區間，記作[a,b]；
滿足a＜x＜b的全體實數x的集合，叫做開區間，記作﹙a,b﹚；
滿足a≤x＜b或a＜x≤b的全體實數x的集合，都叫做半開半閉區間，分別記作[a,b﹚或﹙a,b ]；
分別滿足x≥a,x＞a,x≤a,x＜a的全體實數的集合分別記作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a﹚。
6、映射：設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．其中x叫做原象，y叫做象。
注：映射可以是多對一，不可以一對多。即A中元素不可剩余，B中元素可以剩余。特別的，集合B中的任意元素在集合A中有且只有一個原象的映射，叫做一一映射。
7、映射個數的確定：若集合A有m個元素，集合B中有n個元素，則A到B的映射有個。
例6、已知集合。問：
(1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：有多少個？
(2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：有多少個？
8、映射與函數的關系：函數是特殊的映射。
9、復合函數：
二、函數的表示方法
1、列表法：通過列出自變量與對應函數值的表格來表示函數關系；
2、圖像法：用圖像表示函數關系；
3、解析法（公式法）：用代數式表示函數關系。
三、分段函數
在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數叫做分段函數。
例7、已知函數
（1）用分段函數的形式表示該函數；
（2）畫出該函數的圖像；
（3）寫出該函數的值域。
四、函數的單調性
1、增函數和減函數的定義：設函數的定義域為，如果對于定義域內的某個區間內的任意兩個自變量，當時，都有，那么就說在區間上是增函數.區間稱為的單調增區間；如果對于區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在這個區間上是減函數.區間稱為的單調減區間。
2、圖像特點：
增函數：自左向右圖象是上升的 減函數：自左向右圖象是下降的
3、函數單調性的判定方法
（1）定義法：任取，且，判斷的符號，若＞0，在D上單調遞增，若＜0，在D上單調遞減；
（2）圖像法：根據圖像直觀地判斷函數的單調性；
（3）直接法：根據一些特殊函數的性質，直接得出函數的單調性，如一次函數中的k＞0,直接得出函數為增函數；
（4）結論：①具有相反的單調性；②與（c為常數）具有相同的單調性；③a＞0時，與具有相同的單調性，a＜0時，與具有相反的單調性；④若，則具有相反的單調性；⑤時，與具有相同的單調性；⑥若與具有相同的單調性，則與和都具有相同的單調性。
例8、討論下列函數的單調性
（1） （2） （3） （4）
例9、證明函數在上是減函數。
例10、求函數在區間上的最小值。
4、復合函數單調性判斷：同增異減
例11、判斷函數在（-2，+∞）上的單調性
五、函數的奇偶性
1、奇函數、偶函數的定義：一般地，對于函數的定義域內的任意一個，都有，且，那么就叫做奇函數,，那么就叫做偶函數。
例12、判斷奇偶性
（1） （2） （3） （4）
例13、判斷函數的奇偶性
2、圖像特征：（1）奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱；
（2）奇函數的定義域為D，若，則。
3、函數奇偶性的判定：
（1）根據定義：①首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱，如果不關于原點對稱，則函數沒有奇偶性；
②若定義域關于原定對稱，再確定與的關系；
③最后作出相應結論：若或，則是奇函數,若或，則是偶函數。
（2）根據圖像：若函數的圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；
若函數的圖象關于軸對稱，則函數為偶函數。
（3）根據性質：奇函數+奇函數=奇函數； 偶函數+偶函數=偶函數；
； ；
（4）函數的分拆：任何一個函數都可以拆分成一個奇函數和一個偶函數的和，即，其中（偶函數），（奇函數）。
4、復合函數的奇偶性
若函數的定義域都是關于原點對稱的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的規律是:
函數
奇偶性
奇函數
奇函數
偶函數
偶函數
奇函數
偶函數
奇函數
偶函數
奇函數
偶函數
偶函數
偶函數
即當且僅當和都是奇函數時,復合函數是奇函數.
5、利用奇偶性求函數解析式：
例14、若函數是定義在上的偶函數，當時，，求當時，函數的解析式。
6、函數奇偶性與單調性綜合應用：
例15、函數是定義在上的奇函數，在上是增函數，且，則滿足成立的的取值范圍是。
例16、定義在上的偶函數，當時，為減函數，若成立，求的取值范圍。
第二節、一次函數和二次函數
一、一次函數的性質與圖像
1、一次函數的概念：函數叫做一次函數，定義域和值域都為R，它的圖像是直線，其中叫做該直線的斜率，叫做該直線在軸上的截距。
2、一次函數的性質與圖像：
一次函數
圖像
性質
單調性
奇偶性
增函數
奇函數
增函數
非奇非偶函數
減函數
奇函數
減函數
非奇非偶函數
例1、已知函數為何值時，
（1）這個函數為正比例函數；
（2）這個函數為一次函數；
（3）函數值隨的增大而減小；
（4）這個函數的圖像與直線的交點在軸上。
例2、如果一次函數的圖像經過一、三、四象限，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
例3、直線過點和，求直線與坐標軸圍成三角形的面積。
二、二次函數的性質與圖像
1、二次函數的概念：形如的函數叫做二次函數．其定義域是R。
2、二次函數的解析式：
一般式：；
頂點式：，是二次函數的頂點坐標；
兩根式：，是二次函數與軸的兩個交點的橫坐標。
3、二次函數的性質與圖像
二次函數
圖像
定義域
R
值域
對稱軸
頂點坐標
奇偶性
單調性
是減函數，是增函數
是增函數，是減函數
最值
時，
時，
例4、設abc＞0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是（ ）
4、與二次函數有關的不等式恒成立問題：
（1）ax2＋bx＋c>0恒成立的充要條件是；
（2）ax2＋bx＋c
高一函數(12)
第一段
一．課題：函數的解析式及定義域
二．教學目標：掌握求函數解析式的三種常用方法：待定系數法、配湊法、換元法，能將一些簡單實際問題中的函數的解析式表示出來；掌握定義域的常見求法及其在實際中的應用．
三．教學重點：能根據函數所具有的某些性質或所滿足的一些關系，列出函數關系式；含字母參數的函數，求其定義域要對字母參數分類討論；實際問題確定的函數，其定義域除滿足函數有意義外，還要符合實際問題的要求．
四．教學過程：
（一）主要知識：1．函數解析式的求解；2．函數定義域的求解．
（二）主要方法：
1．求函數解析式的題型有：
（1）已知函數類型，求函數的解析式：待定系數法；
（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；
（3）已知函數圖像，求函數解析式；
（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法；
（5）應用題求函數解析式常用方法有待定系數法等．
2．求函數定義域一般有三類問題：
（1）給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；
（2）實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義；
（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：
①掌握基本初等函數（尤其是分式函數、無理函數、對數函數、三角函數）的定義域；
②若已知的定義域，其復合函數的定義域應由解出．
（三）例題分析：
例1．已知函數的定義域為，函數的定義域為，則
（ ）
解法要點：，，
令且，故．
例2．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函數，且滿足，求；
（4）已知滿足，求．
解：（1）∵，
∴（或）．
（2）令（），則，∴，∴．
（3）設，
則，
∴，，∴．
（4） ①， 把①中的換成，得 ②，
①②得，∴．
注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數，可用待定系數法；第（4）題用方程組法．
例3．設函數，
（1）求函數的定義域；
（2）問是否存在最大值與最小值？如果存在，請把它寫出來；如果不存在，請說明理由．
解：（1）由，解得 ①
當時，①不等式解集為；當時，①不等式解集為，
∴的定義域為．
（2）原函數即，
當，即時，函數既無最大值又無最小值；
當，即時，函數有最大值，但無最小值．
例4． 5：已知函數是定義在上的周期函數，周期，函數是奇函數．又知在上是一次函數，在上是二次函數，且在時函數取得最小值．
①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式．
解：∵是以為周期的周期函數，∴，
又∵是奇函數，∴，
∴．
②當時，由題意可設，
由得，∴，
∴．
③∵是奇函數，∴，
又知在上是一次函數，∴可設，而，
∴，∴當時，，
從而當時，，故時，．
∴當時，有，∴．
當時，，∴
∴．
例5．我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采取價格調控等手段來達到節約用水的目的，某地用水收費的方法是：水費＝基本費＋超額費＋損耗費．若每月用水量不超過最低限量時，只付基本費8元和每月每戶的定額損耗費元；若用水量超過時，除了付同上的基本費和定額損耗費外，超過部分每付元的超額費．已知每戶每月的定額損耗費不超過5元．
該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費如下表所示：
月份
用水量
水費（元）
1
2
3
9
15
22
9
19
33
根據上表中的數據，求、、．
解：設每月用水量為，支付費用為元，則有
由表知第二、第三月份的水費均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，從而
再考慮一月份的用水量是否超過最低限量，不妨設，將代入（2）式，得，即，這與（3）矛盾．∴．
從而可知一月份的付款方式應選（1）式，因此，就有，得．
故，，．
（四）鞏固練習：
1．已知的定義域為，則的定義域為．
2．函數的定義域為．
第二段
一．課題：函數的值域
二．教學目標：理解函數值域的意義；掌握常見題型求值域的方法，了解函數值域的一些應用．
三．教學重點：求函數的值域．
四．教學過程：
（一）主要知識：
1．函數的值域的定義；2．確定函數的值域的原則；3．求函數的值域的方法．
（二）主要方法（范例分析以后由學生歸納）：
求函數的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判別式法，基本不等式法，逆求法（反函數法），換元法，圖像法，利用函數的單調性、奇偶性求函數的值域等．
（三）例題分析：
例1．求下列函數的值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）．
解：（1）（一）公式法（略）
（二）（配方法），
∴的值域為．
改題：求函數，的值域．
解：（利用函數的單調性）函數在上單調增，
∴當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為．
∴函數，的值域為．
（2）求復合函數的值域：設（），則原函數可化為．
又∵，∴，故，
∴的值域為．
（3）（法一）反函數法：的反函數為，其定義域為，
∴原函數的值域為．
（法二）分離變量法：，
∵，∴，
∴函數的值域為．
（4）換元法（代數換元法）：設，則，
∴原函數可化為，∴，
∴原函數值域為．
說明：總結型值域，變形：或
（5）三角換元法：∵，∴設，
則
∵，∴，∴，∴，
∴原函數的值域為．
（6）數形結合法：，∴，∴函數值域為．
（7）判別式法：∵恒成立，∴函數的定義域為．
由得： ①
①當即時，①即，∴
②當即時，∵時方程恒有實根，
∴，∴且，
∴原函數的值域為．
（8），
∵，∴，∴，當且僅當時，即時等號成立．∴，∴原函數的值域為．
（9）（法一）方程法：原函數可化為：，
∴（其中），
∴，∴，∴，∴，
∴原函數的值域為．
（法二）數形結合法：可看作求點與圓上的點的連線的斜率的范圍，解．
例2．若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍．
解：原方程可化為，
令，則，，又∵在區間上是減函數，
∴，即，
故實數的取值范圍為：．
例3．）某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2003年度進行一系列的促銷活動．經過市場調查和測算，化妝品的年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：與成反比例；如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件．
已知2003年，生產化妝品的固定投入為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投入32萬元．當將每件化妝品的售價定為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和，則當年產銷量相等．
（1）將2003年的年利潤萬元表示為年促銷費萬元的函數；
（2）該企業2003年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？
（注：利潤＝收入－生產成本－促銷費）
解：（1）由題設知：，且時，，∴，即，
∴年生產成本為萬元，年收入為．
∴年利潤，
∴．
（2）由（1）得，
當且僅當，即時，有最大值．
∴當促銷費定為萬元時，年該化妝品企業獲得最大利潤．
（四）鞏固練習：
1．函數的值域為．
2．若函數在上的最大值與最小值之差為2，則．
