扇形弧長公式7篇
扇形弧長公式(1)
扇形弧長與面積公式之應用作者：車樹勤來源：《中學課程輔導高考版·學生版》2011年第11期
????????應用弧長公式l=αr和扇形面積公式S=12αr 2來解決實際問題，這既充分體現了弧度制在運算上的優越性，又能幫助我們加深對弧度制概念的理解．下面對弧度制下的扇形問題加以例析．
????????一、求扇形的圓心角
????????例1 已知扇形的周長為10 cm ，面積為4 cm 2，求扇形圓心角的弧度數．
????????分析：利用周長和面積列出兩個方程，可求出半徑，進而得到圓心角的弧度數．
????????解：設扇形圓心角的弧度數為θ(0
????????則l+2r=10 ①，12lr=4 ②
????????將①代入②得r 2－5r+4=0，解得r 1=1，r 2=4．
????????當r=1時，l=8( cm )，此時θ=8 rad >2 π rad ，舍去；
????????當r=4時，l=2( cm )，此時θ=24=12 rad ．
????????點評：本題主要考查弧度的概念及應用，考查弧度制下的弧長公式和扇形面積公式的應用．在使用公式l=|α|r和S=12lr時，圓心角的單位必須是弧度．如果是用角度表示的，則應先換算成弧度，再代入公式．
????????
????????二、求弧長與面積
????????例2 2 rad 的圓心角所對的弦長為2 cm ，則這個圓心角所對的弧長是多少？這個圓心角所夾扇形面積是多少？
????????分析：過圓心作弦的垂線，構造出一個直角三角形可求出扇形的半徑，則可用弧長公式和扇形面積公式求解．
???????? 解： 設弦AB=2 cm ,過O做OD⊥AB于D,則D為AB的中點.
????????∴AD=12AB=1 cm ，∠AOD=12∠AOB=1 rad ，
????????∴扇形半徑OA=1 sin 1，由弧長公式l=|α|r=2×1 sin 1( cm )=2 sin 1（ cm ），
扇形弧長公式(2)
弧長及扇形面積的計算
班級 姓名 組號
學習目標：1.經歷探索弧長計算公式、扇形面積計算公式的過程。
2.會用弧長計算公式、扇形面積計算公式計算有關問題
學習重點：運用弧長公式、扇形面積公式計算有關問題
學習難點：能準確求出所給圖形的面積、弧長。
【課前預習學案】（時間：15分鐘）等級
一、舊知回顧：
1.半徑為r的圓的面積公式為 ，周長為
2.扇形的定義
3. 什么是圓心角
一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角的度數的
二、教材助讀（要求：認真閱讀教材P136-138,對每個概念和例題形成自己的見解。如果有疑問隨時記錄，待課堂上小組交流解決。）
1.半徑為r，圓心角為n°的弧的長度為 (如何得此結果？)
2.半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積公式為 (如何得此結果？)
3.用弧長和半徑表示扇形的面積為 (如何得此結果？)
三、自我檢測（自測題體現一定的基礎，又有一定的思維含量，只有“細心才對，思考才會”）
1．已知圓弧的半徑是24，所對的圓心角為60°，則圓心角所對的弧長為
2. 已知扇形的圓心角為120°，半徑為5cm，則扇形的面積為
3. 已知扇形的弧長為20π，半徑為6，則扇形的面積為
四、預習反思
—請你將預習中未能解決的問題和疑惑寫下來，待課堂上與老師和同學探究解決。
【課內探究學案】
一、自主學習（千里之行，始于足下，相信自己，你能行）
1．嘗試
（1）半徑為r，圓心角為1°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
半徑為r，圓心角為60°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
半徑為r，圓心角為90°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
半徑為r，圓心角為180°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
半徑為r，圓心角為210°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
---------------------
半徑為r，圓心角為n°的弧的長度是周長（2πr）的幾分之幾？
這個弧長為
所以在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對弧的長度l=
（2）半徑為r，圓心角為1°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
半徑為r，圓心角為60°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
半徑為r，圓心角為90°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
半徑為r，圓心角為180°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
半徑為r，圓心角為210°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
---------------------
半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積是圓面積（πr2）的幾分之幾？
扇形面積為
所以在半徑為r的圓中，圓心角為n°扇形的面積s=
2. 交流、討論、總結
(1)弧的長度由什么數量決定？扇形的面積呢？(2) 用弧長和半徑表示扇形的面積為 (如何得此結果？)
二、精講點撥（生講、師講相結合，重點知識，重點鞏固）
探究1．已知扇形的圓心角為150°，弧長為20π，求扇形的面積？
探究2.如圖，圓O的半徑為5，A是圓O外一點，AB切圓O于點B，AO交圓O于點C,AC=OC.求（1）求弧BC的長；（2）圖中陰影部分的面積
word/media/image1_1.png
【規律方法總結】
三、鞏固訓練
1.扇形的面積為300π，弧長為20π，則扇形所在的圓心角的度數為
2.三角形ABC的外接圓半徑為2，°，則∠BAC所對的弧BC的長為
【規律方法總結】
四、我的收獲（總結知識點，規律及方法）
【課后提升學案】
【檢查落實措施】先由小組長收齊，然后由老師進行批閱，并劃成A、B、C三檔，作為評價小組和個人的依據。
一、基礎鞏固題
1．如果扇形的圓心角是230°，那么這個扇形的面積等于這個扇形所在圓的面積的____
2．扇形的面積是它所在圓的面積的 ，這個扇形的圓心角的度數是_________°.
二、綜合應用題
1. 如圖，在以O為圓心的兩個圓心角中，大圓的弦AB是小圓的切線，切word/media/image3_1.png點為C。設弦AB的長為d，圓環面積S與d之間有怎樣的數量關系？
2.正三角形的邊長為6，則它的內切圓與外接圓所圍成圓環的面積
word/media/image4_1.png3．正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內作半圓，求圍成的圖形的面積（陰影部分）
扇形弧長公式(3)
弧長及扇形面積的計算
班級 姓名 組號
學習目標：1.經歷探索弧長計算公式、扇形面積計算公式的過程。
2.會用弧長計算公式、扇形面積計算公式計算有關問題
學習重點：運用弧長公式、扇形面積公式計算有關問題
學習難點：能準確求出所給圖形的面積、弧長。
【課前預習學案】（時間：15分鐘）等級
一、舊知回顧：
1.半徑為r的圓的面積公式為 ，周長為
2.扇形的定義
3. 什么是圓心角
一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角的度數的
二、教材助讀（要求：認真閱讀教材P136-138,對每個概念和例題形成自己的見解。如果有疑問隨時記錄，待課堂上小組交流解決。）
1.半徑為r，圓心角為n°的弧的長度為 (如何得此結果？)
2.半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積公式為 (如何得此結果？)
3.用弧長和半徑表示扇形的面積為 (如何得此結果？)
三、自我檢測（自測題體現一定的基礎，又有一定的思維含量，只有“細心才對，思考才會”）
1．已知圓弧的半徑是24，所對的圓心角為60°，則圓心角所對的弧長為
2. 已知扇形的圓心角為120°，半徑為5cm，則扇形的面積為
3. 已知扇形的弧長為20π，半徑為6，則扇形的面積為
扇形弧長公式(4)
【本講教育信息】
一. 教學內容：
弧長及扇形的面積
圓錐的側面積
?
二. 教學要求
1、了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會運用公式解決具體問題。
2、了解圓錐的側面積公式，并會應用公式解決問題。
?
三. 重點及難點
重點：
1、弧長的公式、扇形面積公式及其應用。
2、圓錐的側面積展開圖及圓錐的側面積、全面積的計算。
難點：
1、弧長公式、扇形面積公式的推導。
2、圓錐的側面積、全面積的計算。
?
［知識要點］
知識點1、弧長公式
因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，
說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。
（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。
?
知識點2、扇形的面積
如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。
又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。
?
知識點3、弓形的面積
（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。
（2）弓形的周長＝弦長＋弧長
（3）弓形的面積
如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。
當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，?
當弓形所含的弧是優弧時，如圖2所示，
當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，
例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是 （??????? ）（結果用表示）
分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，
所以
注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。
?
圓周長
弧長
圓面積
扇形面積
公
式
（2）扇形與弓形的聯系與區別
（2）扇形與弓形的聯系與區別
圖
示
面
積
?
知識點4、圓錐的側面積
圓錐的側面展開圖是一個扇形，如圖所示，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側面積，圓錐的全面積
說明：（1）圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。
（2）研究有關圓錐的側面積和全面積的計算問題，關鍵是理解圓錐的側面積公式，并明確圓錐全面積與側面積之間的關系。
知識點5、圓柱的側面積
圓柱的側面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側面積，圓柱的全面積
知識小結：
圓錐與圓柱的比較
名稱
圓錐
圓柱
圖形
圖形的形成過程
?
由一個直角三角形旋轉得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉一周。
由一個矩形旋轉得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉一周。
圖形的組成
一個底面和一個側面
兩個底面和一個側面
側面展開圖的特征
扇形
矩形
面積計算方法
?
扇形弧長公式(5)
【本講教育信息】
一. 教學內容：
弧長及扇形的面積
圓錐的側面積
二. 教學要求
1、了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會運用公式解決具體問題。
2、了解圓錐的側面積公式，并會應用公式解決問題。
三. 重點及難點
重點：
1、弧長的公式、扇形面積公式及其應用。
2、圓錐的側面積展開圖及圓錐的側面積、全面積的計算。
難點：
1、弧長公式、扇形面積公式的推導。
2、圓錐的側面積、全面積的計算。
［知識要點］
知識點1、弧長公式
因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，
說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。
（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。
知識點2、扇形的面積
如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。
又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。
知識點3、弓形的面積
（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。
（2）弓形的周長＝弦長＋弧長
（3）弓形的面積
如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。
當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，
當弓形所含的弧是優弧時，如圖2所示，
當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，
例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是 （ ）（結果用表示）
分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，
所以
注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。
圓周長
弧長
圓面積
扇形面積
公
式
（2）扇形與弓形的聯系與區別
（2）扇形與弓形的聯系與區別
圖
示
面
積
知識點4、圓錐的側面積
圓錐的側面展開圖是一個扇形，如圖所示，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側面積，圓錐的全面積
說明：（1）圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。
（2）研究有關圓錐的側面積和全面積的計算問題，關鍵是理解圓錐的側面積公式，并明確圓錐全面積與側面積之間的關系。
知識點5、圓柱的側面積
圓柱的側面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側面積，圓柱的全面積
知識小結：
圓錐與圓柱的比較
名稱
圓錐
圓柱
圖形
圖形的形成過程
由一個直角三角形旋轉得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉一周。
由一個矩形旋轉得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉一周。
圖形的組成
一個底面和一個側面
兩個底面和一個側面
側面展開圖的特征
扇形
矩形
面積計算方法
【典型例題】
例1. （2003.遼寧）如圖所示，在同心圓中，兩圓的半徑分別為2，1，∠AOB＝120°，則陰影部分的面積是（ ）
A. B. C. D.
分析：陰影部分所在的兩個扇形的圓心角為，
所以
故答案為：B.
例2. （2004·陜西）如圖所示，點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝，求陰影部分的面積。
分析：本題考查的知識點有：（1）直徑所對圓周角為90°，（2）解直角三角形的知識（3）組合圖形面積的計算。
解：因為AB為直徑，所以∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝
設BC＝3k，AC＝4k，（k不為0，且為正數）
由勾股定理得
所以BC＝6，AC＝8，，而
所以
例3. （2003.福州）如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內接于扇形AOB，點C，E，D分別在OA，OB及AB弧上，過點A作AF⊥ED交ED的延長線于F，垂足為F，如果正方形的邊長為1，那么陰影部分的面積為（ ）
分析：連接OD，由正方形性質可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝，
因為正方形的邊長為1，所以OE＝DE＝1，所以，設兩部分陰影的面積中的一部分為M，另一部分為N，則，陰影部分面積可求，但這種方法較麻煩，用割補法解此題較為簡單，設一部分空白面積為P，
因為∠BOD＝∠DOC，所以
所以M＝P，所以
答案：。
例4. 如圖所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC為軸把直角梯形ABCD旋轉一周，求所得幾何體的表面積。
分析：將直角梯形ABCD繞BC旋轉一周所得的幾何體是由相同底面的圓柱和圓錐組成的，所得幾何體的表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和底面積三者之和。
解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2
CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4
在△CDH中，
所以
例5. （2003.寧波）已知扇形的圓心角為120°，面積為300平方厘米
（1）求扇形的弧長。
（2）若把此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積是多少
分析：（1）由扇形面積公式，可得扇形半徑R，扇形的弧長可由弧長公式求得。（2）由此扇形卷成的圓錐如圖所示，這個圓錐的軸截面為等腰三角形ABC，（1）問中求得的弧長是這個圓錐的底面圓周長，而圓周長公式為C＝2r，底面圓半徑r即CD的長可求，圓錐的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。
解：（1）設扇形的半徑為R，
由，得，解得R＝30.
所以扇形的弧長（厘米）。
（2）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圓周長C＝2r，因為底面圓周長即為扇形的弧長，所以
在Rt△ADC中，高AD＝
所以軸截面面積（平方厘米）。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 若一個扇形的圓心角是45°，面積為2л，則這個扇形的半徑是（ ）
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圓心角是60°，則扇形的面積是所在圖面積的（ ）
A. B. C. D.
3. 扇形的面積等于其半徑的平方，則扇形的圓心角是（ ）
A. 90° B. C. °
4. 兩同心圓的圓心是O，大圓的半徑是以OA，OB分別交小圓于點M， N．已知大圓半徑是小圓半徑的3倍，則扇形OAB的面積是扇形OMN的面積的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圓O的直徑為6cm，∠BAC＝30°，則陰影部分的面積是（ ）
A. B.
C. D.
6 用一個半徑長為 6cm 的半圓圍成一個圓錐的側面，則此圓錐的底面半徑為（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圓錐的全面積和側面積之比是3 ：2，這個圓錐的軸截面的頂角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知兩個母線相等的圓錐的側面展開圖恰好能拼成一個圓，且它們的側面積之比為1∶2，則它們的高之比為（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：
9. 如圖，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC為底面圓半徑，BC為高的圓錐的側面積為S1，以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側面積為S2，則（ ）
A. S1＝S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2的大小關系不確定
二、填空題
1. 扇形的弧長是12лcm，其圓心角是90°，則扇形的半徑是 cm ，扇形的面積是 cm2.
2. 扇形的半徑是一個圓的半徑的3倍，且扇形面積等于圓面積，則扇形的圓心角是 .
3. 已知扇形面積是12cm2，半徑為8cm，則扇形周長為 .
4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC繞直線AC旋轉一周得到一個圓錐，其全面積為S1；把Rt△ABC繞AB旋轉一周得到另一個圓錐，其全面積為S2，則S1： S2＝ 。
5. 一個圓柱形容器的底面直徑為2cm，要用一塊圓心角為240°的扇形鐵板做一個圓錐形的蓋子，做成的蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個扇形的半徑至少要有 cm。
6. 如圖，扇形AOB的圓心角為60°，半徑為6cm，C，D分別是的三等分點，則陰影部分的面積是 。
7. 如圖正方形的邊長為2，分別以正方形的兩個對角頂點為圓心，以2為半徑畫弧，則陰影部分面積為 。
三、計算題
1. 如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A為圓心畫弧，交AB于點D，交AC延長線于點F，交BC于點E，若圖中兩個陰影部分的面積相等，求AC與AF的長度之比（л取3）。
2. 一個等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的側面積是S1，另一個圓錐的側面積是S2，如果圓錐和圓柱等底等高，求．
3. 圓錐的底面半徑是R，母線長是3R，M是底面圓周上一點，從點M拉一根繩子繞圓錐一圈，再回到M點，求這根繩子的最短長度．
【試題答案】
一、選擇題
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. C
9. B
二、填空題
1、24 144
2、40°
3、19cm
4、3：4
5、3
6、2
7、2－4
三、計算題
1、連接AE，則，所以
2、
3、連接展開圖的兩個端點MM"，即是最短長度。
利用等量關系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，
扇形弧長公式(6)
課 題：
課 型：新授課
教學目標：
1.經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養學生的探索能力；
2.了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會應用公式解決問題，訓練學生的數學應用能力；
3．使學生了解計算公式的同時，體驗公式的變式，使學生在合作與競爭中形成良好的數學品質．
教學重點：
經歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程；了解弧長及扇形的面積計算公式；會利用公式解決問題．
教學難點：
探索弧長及扇形的面積計算公式；用公式解決問題．
教學準備：
多媒體課件、幾何畫板軟件．
教法學法：
多媒體教學、演示教學和自主探究法
教學過程：
一、創設情境，引入新課．
師：今天大家是怎么來上學的？
生：自行車/電動車/步行/坐十路車．
師：看來咱們班多數同學一天的學習生活都是從車輪開始的．
生發出會心的笑聲．
師：大家看這輛自行車，它的車輪的半徑是30cm，車輪轉動一周，車子將會前進多少？
生：60πcm．
師：這實際上就是利用圓的周長公式計算的，那圓的面積公式是什么？圓的圓心角是多少度？
生：若圓的半徑是r，則面積是，圓的圓心角是360°．
師：看得出來同學們對一整個圓已經是相當的了解了，我們今天要來把圓剖析一下，來研究一下“弧長及扇形的面積”（板書課題）．
設計意圖：激發學生的求知欲望，肯定學生的合理答案．
二、師生互動，探究新知
活動1 探索弧長公式
師：我們知道車輪轉動一周是360°，那如果車輪轉動180°，車子將會前進多少厘米？
生：30πcm．因為車輪轉動180°，是轉動了半圈，所以車子前進的距離是圓周長的一半．
師：那如果車輪轉動了90°，車子將會前進多少厘米？
生：15πcm．因為車輪轉動90°，是轉動了四分之一圈，所以車子前進的距離是圓周長的一半．
師：那如果車輪轉動1°呢？轉動n°呢？
小組研討交流、計算．
師參與、輔助、組織學生闡述解決問題的方法．
生：因為圓的周長所對的圓心角是360°，所以車輪轉動1°，車子將前進圓周長的；車輪轉動n°，車子前進的距離是車輪轉動1°時的n倍，也就是圓周長的．所以，當車輪轉動1°時，車子前進cm; 當車輪轉動n°時，車子前進cm.
師：同學們能不能通過以上探究總結一下在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式是什么？
學生思考．
生： ．
師：是的，這里同學們要特別注意，公式中的n表示的是1°的圓心角的倍數，所以不寫單位；如圖所示的弧長記作：．請同學們記住這個公式．
學生識記公式．
設計意圖：關于弧長的計算，我從一個生活中的實際問題出發，設計了5個小問題，從具體到抽象，讓小組的同學討論分析，得出計算弧長的公式，再通過一道小題進行實踐，鞏固弧長的計算公式．
活動2 弧長公式的應用
師：現在我們來看一下弧長的計算有怎樣的實際意義．
課件出示：
例1 制作彎型管道時，需要先按中心線計算“展開長度”在下料．試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結果精確到0.1mm）．
學生利用公式進行計算，一生在老師的安排下板書，師巡視．觀察到學生基本完成后組織講評．
生板書：=76.8mm.
師：我們一起來看一下這位同學的板書，你認可嗎？
生1：答案是正確的，同時注意了先幾何后代數和公式的寫法．
生2：沒有答句．
師：同學們的評價很中肯，希望出現同樣問題的學生引以為戒．現在我們一起來看一下本題的解題步驟，以此來規范自己的解題過程．
課件出示：
解：R=40mm，n=110，
所以
=76.8mm
因此，管道的展直長度約為76.8mm．
師：下面請同學們快速的完成下面三道題目．
課件出示：試一試
1.直徑為360cm的圓弧的度數是20°，則這條弧的長為 ．
2.半徑為6cm的圓中，長為8π的弧所對的圓心角為 度．
3.（棗莊中考題）長為6.28cm的弧所對的圓周角是30°，則該弧所在的圓的半徑為 ．（π取3.14）
學生獨立解題，師安排三生板書，巡視并適時指導．
生1：解：==20πcm.
因此這條弧的長為20πcm.
生2：解：∵
∴==240
因此，其所對的圓心角的度數是240°．
生3：解：∵
∴==12（cm）
因此，該弧所在的圓的半徑為12cm.
師：從以上題目的解題過程，你有怎樣的認識？
生1：在弧長公式中，有三個量：l，n，r，只要知道其中的兩個量，就能求出其他的量．
生2：做題時要分清直徑和半徑．
活動三 探究扇形面積公式
師：咱們學校一年一度的春季運動會又將開始了，同學們看，這就是咱們肆意綻放青春、揮灑汗水的學校操場的平面圖，咱班同學都在哪些項目上有絕對優勢？
生1：李明亮的長跑絕對是全校第一，今年還有可能再破校記錄．
生2：葉曉番的鉛球從七年級時就改寫了學校的記錄，八年級時蟬聯第一名，相信今年更是無人可以撼動．
師：期待這些同學在賽場上能有好的發揮．說道鉛球，大家知道鉛球場地是什么形狀的嗎？
生：扇形．
師：這里，我們來正式認識一下扇形．如圖：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形．這個扇形就記作扇形AOB．
設計意圖：此環節以學生熟悉的場景入手，借助直觀的圖形來加深學生對扇形概念的認識．
師：大家快速判斷一下下面的幾個圖形那個是扇形？
課件出示：
1.（口答）下面各圖中，哪些圖形是扇形？為什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
生思考后舉手回答．
生：圖（3）、（5）是扇形，因為（1）、（2）、（4）的頂點都不在圓心上．
師：這位同學是從這個角度做出了快速而又正確的判斷，這吻合扇形定義的另一種說法：由圓心角所對的弧和組成這個圓心角的兩條半徑組成的圖形叫做扇形．
設計意圖：通過扇形的識別，提高學生的識圖能力，培養學生自主獲取知識的能力和語言表達能力．
師：現在我們來看大屏幕上的動畫，觀察的同時請同學們思考扇形的面積和什么有關？
利用幾何畫板分別拖動圓心和組成扇形的弧的一個端點：
（1）圓心角相同時：
生：扇形圓心角固定時，圓的半徑越大，扇形面積越大．
（2）半徑相同時：
讓學生感悟學有所用，同時也加深了學生對知識的理．再通過例題實踐來嘗試使用弧長和扇形面積公式．
活動四 歸納總結
師：現在我們回過頭來觀察一下弧長和扇形的面積公式，同學們有什么發現嗎？
課件出示：
學生嘗試推導，師巡視并適時指導．
生：．
師：這樣的話扇形的面積就有兩個計算公式：，．我們選用哪個公式就看題目給的是什么條件，那仿照我們對弧長公式的理解，扇形面積的兩個公式能不能逆用呢？
生：能吧．
師：一定能，在， 這兩個公式中都是有三個量，我們只要知道其中的兩個量就能求出另外一個，同學們在以后的實踐中會有更深刻的認識．現在同學們再把這三個公式結合圖形記憶一下，務求張口就來．
學生識記．
設計意圖：引導學生對比弧長公式和扇形面積公式，經過分析討論得到扇形面積的第二種計算方法，讓學生在分析對比中強化對知識的記憶．
三、隨堂練習，鞏固應用．
師：相信現在同學們對弧長公式和扇形面積公式都有了深刻的認識，那就請同學們充分發揮所學吧！看大屏幕，共有四道小題，請同學們在練習本上完成，做得快的同學可以關注一下本組同學的完成情況．
課件出示：
1．已知一個扇形的圓心角等于120°，半徑是6，則這個扇形的弧長是______，面積是_____
2．已知扇形面積為 5π，圓心角為50°，則這個扇形的半徑R=____．
3．已知扇形的半徑是10 cm，弧長為5π cm，則扇形的面積______
4．已知⊙O的半徑OA=6，扇形OAB的面積等于12π，則弧AB所對的圓心角度數是____
學生完成后師組織共同講評，并適時的做出積極評價．
設計意圖：在學生充分認識理解弧長公式和扇形面積公式后，我設計了4個小題，讓學生的動手實踐，進一步學習運用弧長和扇形面積公式進行計算，使學生明白：1、知道圓心角、弧長及半徑中的任意兩個量，就可以求第三個量；2、知道圓心角、半徑及扇形面積中的任意兩個量，也可以求出第三個量．
四、課堂小結
師：請同學們概括一下本節課你所認知的知識．
生1：本節課我們學習了弧長公式、扇形的面積公式以及兩個公式之間的聯系，特別是能用公式解決實際問題．
生2：在利用公式解題時，n表示的是n°的圓心角是1°圓心角的倍數，所以不要加單位．
生3：這三個公式都可以變形使用．
師：是的，正所謂“學以致用”，希望同學們在具體實踐中能靈活并準確的運用這些知識．
五、布置作業
A類：課本142頁：2題，3題
B類：如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以2πcm／s
的速度沿圓周逆時針運動，當點P回到點A時立即停止運動，如果∠POA= 90 °
時，求點P運動的時間？(中考題）
設計思路：作業的布置是學生掌握課堂所學知識的延續，是為了讓學生在課下鞏固本節知識,達到知識的升華.因此，我首先布置了兩道源于課本的基礎題，然后布置一道富有趣味性、創新性的中考題，以此來提高學生應用知識的能力．
六、板書設計
§3.7弧長和扇形的面積
一、 弧長的計算公式
二、扇形的面積公式
三、例題
例1 制作彎型管道時，需要先按中心線計算“展開長度”在下料．試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結果精確到0.1mm）．
例2:已知扇形AOB的半徑為12cm,∠AOB=120°,求的長(結果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1cm2)．
教學反思：
1.教學設計的優勢
弧長和扇形的面積，在新課標、新教材中是要求學習的內容，本節課，通過學生自主探究來獲取知識，合作交流來解決實際問題，從而體驗成功的喜悅，達到資源與信息的共享，實現課堂教學的交互性，有效的提高了課堂的教學效率．此外，在教學中，加強數學教學與信息技術教育的整合，利用幾何畫板等多媒體教學手段，向學生展示豐富多彩的數學世界，有利于激發學習數學的興趣，加之與探究性教學的結合，也有利于調動學生學習數學的積極性．
2、存在問題
本課是一節新授課，在教學中不能把知識的結果強加于學生，雖然應用直觀形象的手段，讓學生經歷了知識的生成過程，但因學生水平的差異，在應用弧長和扇形面積公式時有部分人混淆方法．
3、再設計
當學生出現問題時，教師可以把問題放到小組內討論，再加上老師的指導，才能得到圓滿的解決．
扇形弧長公式(7)
第四課 弧長公式與扇形面積公式
明確目標
掌握弧度制下弧長公式和扇形面積公式
重點難點
重點：弧長公式和扇形面積公式
難點：弧長公式和扇形面積公式
課型
□講授 □習題 □復習 □討論 □其它
教 學 內 容 與 教 師 活 動 設 計
學生活動設計
一、先學后講
弧度制下的弧長公式和扇形面積公式：
角度制下的弧長公式和扇形面積公式：
兩者相比較:弧度制下的弧長公式和扇形面積公式其記憶與應用更易操作.
記憶:在弧度制下的扇形面積公式可類比三角形的面積公式進行記憶,即“底乘以高的一半.”
二、合作探究
1. 求弧長與面積
例題3一條弦的長度等于半徑r，求:(1)這條弦所對的劣弧長； (2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.
【思路分析】解決此類問題，首先要根據題意畫出相關的圖形，然后對涉及的量的大小進行確定.由已知可知圓心角的大小為，然后用公式求解即可求弧長，弓形面積可以由扇形面積減三角形面積求得.
【解析】如圖，因為半徑為r的圓O中弦AB=r，則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=.則弦AB所對的劣弧長為r.
(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，
S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2，
∴S弓形=S扇形OAB－S△AOB=r2－r2=(－)r2.
【點評】圖形的分解與組合是解決數學問題的基本方法之一，本例把扇形看成三角形與弓形的組合，即可運用已有知識解決要求解的問題.此類數形結合的題目，要盡可能地從圖中，從各種圖形的組合關系中找到解決問題的突破口.
☆自主探究
1.圓的弧長等于該圓內接正三角形的邊長，則該圓弧所對的圓心角的弧度數是( )
A. B.1 C. D.
2.已知圓的半徑為2，則半圓面積為
三、總結提升：
弧度制下的弧長公式和扇形面積公式：
四、問題過關
1.若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為( )
A. B. C. D.2
2.在半徑為10 cm的圓中，的圓心角所對弧長為( )
A. B. C. D.
3.若扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求扇形圓心角的弧度數.
因材施教：
教學后記：
