等腰三角形的性質9篇
等腰三角形的性質(1)
等腰三角形的性質
一、 教學目標
1. 知識與技能
了解等腰三角形、等邊三角形的概念，探索并掌握等腰三角形的性質，通過對等腰三角形的性質的探究，體會實驗幾何的重要性，培養學生的直覺思維和創造性思維能力，分析問題及靈活運用知識解決問題的能力 .
2.過程與方法：
使學生經歷觀察、實驗、探究、歸納的全過程，調動學生自主探究的積極性，以及面對困難尋找解決辦法的能力。
3 情感態度與價值觀：
通過折紙等活動，培養學生的實驗意識和探索精神，使學生在細心觀察—大膽猜測—動手操作—得出結論的過程中，體會自主學習和發現知識的樂趣，培養他們積極探索與合作交流的學習精神。
二、 教材分析
本節的重點是在學習掌握了軸對稱圖形的基礎上，引導學生積極動手利用所學知識去大膽探索等腰三角形的兩個重要性質并會合理應用。
三、 設計理念
重視自主探索、親身實踐、合作交流，讓學生在活動中掌握知識、找到解決問題的辦法，理解兩個性質的真實含義。
四、 教學過程
（一）動手做一做
學生按課本的操作步驟剪出形式各異的等腰三角形，為進一步探究等腰三角形的性質做好準備
（二）知識再現
回顧等腰三角形的相關概念（學生回答下列問題）
填空：有兩條邊 的三角形叫等腰三角形，其中相等的兩邊叫 ，另一邊叫 ，兩腰的夾角叫 ，腰和底邊的夾角叫 。
（三）探索新知
學生通過操作，觀察，探索等腰三角形的三個重要性質。
1等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，它的對稱軸是底邊的垂直平分線。
2等腰三角形的兩個底角相等（簡寫為：等邊對等角）
3等腰三角形頂角的角平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合。（簡稱：三線合一）
（四）學以致用
1．等腰三角形的一個底角是50°，則它的頂角是 ；等腰三角形的頂角是80°，則它的一個底角為 .
2．等腰三角形有一個角是50°，那么其他兩個角的度數是 .
3.等腰三角形有一個角是100°，那么其他兩個角的度數是 。
4，一個等腰三角形兩內角的度數之比為1：4，則這個等腰三角形的頂角的度數為 。
5．等腰三角形一邊長為7，另一邊為3，則它的周長= .
6.等腰三角形一邊長為8,另一邊為9,則它的周長＝ 。
溫馨提示：等腰三角形的頂角可以是銳角、直角和鈍角，但它的底角只能是銳角。已知等腰三角形的兩邊求周長時 ，既要考慮腰和底邊的兩種可能性，還要注意三邊關系是否成立。
（五）學海無涯
1 對比驗證：畫出等腰三角形一個底角的平分線，腰上的高，腰上的中線，觀察這三線是否合一？
（學生動手操作，交流，回答）
結論：三線合一的性質只對頂角的角平分線、底邊上的高，底邊上的中線成立，其他位置不成立。
2 引導學生思考觀察，回答問題，總結等邊三角形的性質
等邊三角形是特殊的等腰三角形，它既具有等腰三角形所有的性質，又有它自己獨特的性質：有三條對稱軸；三個角都相等，每個角都是60度；三線合一的性質對任一邊和它的對角都成立
（六）基礎訓練
如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC
（1）如果AB=AC，BD=CD ，
那么 ， 。
（2）如果AB=AC，∠1=∠2，
那么 ， 。
（3）如果AB=AC，AD⊥BC，那么 ， 。
（七）點擊中考
1、已知：如圖3，在△ABC中,AB=AC ， BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足為E 、F,那么DE與DF相等嗎? 試說明理由。
2，（2007康定）如圖4所示，在正方形ABCD中，△PAD是等邊三角形，∠PBC的度數是（ ）
A、15°B、20 C、25°D 、30°
(八)?拓展提高
1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則 頂角的度數為（ ）
A、 60° B 、120° C、 60°或150° D 、60°或120°
2 墻上釘了一根木條，我們想檢驗木條是否水平，可用一個如圖5所示的測平儀，AB =AC，BC邊的中點D處掛一個重錘，我們將BC 邊與木條重合，觀察此時重錘是否通過A點，如果重錘過A點，那么這根木條就是水平的，你能說明其中的道理嗎？
（九） 收獲季節
學生根據本節課的內容，談談自己的收獲與體會
(教師重點關注：①歸納、總結能力；②不同層次的學生對本節知識的認識程度)
設計意圖：激發學生主動參與的意識，為每一位學生創造在數學學習活動中獲得成功的體驗，并為程度不同的學生提供充分展示自己的機會。
等腰三角形的性質(2)
知識點一：等腰三角形、腰、底邊
在小學里我們就已經學過，有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角
如圖所示，在△ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角． 知識點二：三角形按邊分類
不等邊三角形
三角形
底邊與腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形（正三角形）
知識點三：等腰三角形的性質
1、性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）． 2、這兩個性質證明如下： 在△ABC中，AB=AC，如圖所示． 作底邊BC的高AD，則有 ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD． ∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD． 于是性質1、性質2均得證．
3、說明： （1）①等腰三角形的性質1用符號表示為：∵AB=AC，∴∠B=∠C； ②性質1是等腰三角形的一條重要（主要）性質，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據． （2）①性質2實質包含三條性質，符號表示為：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD； 或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC． ②性質2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關系等． （3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
一、 規律方法指導
1． 等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關性質，快捷地證出結論。
2． 常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關中線的問題。
二、 難點分析
1、 對于“等腰三角形的三線合一”一定要注意是底邊上的高線、中線和頂角平分線，其他的高、中線、角平分線不滿足三線合一。
2、 分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據邊是腰還是底來分類。
類型一：與度數有關的計算
1．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度數。 思路點撥: 解該題的關鍵是要找到∠2和∠1之間的關系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉化為欲找出∠2與∠B之間有什么關系，變成△ABD的角之間的關系，問題就容易的多了。 解析：∵AB=AC ∴∠B =∠C ∵AB=BD ∴∠2=∠3 ∵∠2=∠1+∠C ∴ ∠2=∠1+∠B ∵∠2+∠3+∠B=180° ∴∠B=180°－2∠2 ∴∠2=∠1+180°－2∠2 ∴3∠2=∠1+180° ∵∠1=30° ∴∠2=70° 總結升華：關于角度問題可以通過建立方程進行解決。 舉一反三： 【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度數。
【變式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度數。
類型二：等腰三角形中的分類討論
2．當腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論 （1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。 （2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。 思路點撥: 由等腰三角形的性質可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構成三角形的前提，因此必須進行分類討論。 解析：（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構成三角形； 當腰長為8時，周長為8+8+10=26； 當腰長為10時，周長為10+10+8=28； 故這個三角形的周長為26cm或28cm。 （2）當腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構成三角形； 當腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。 總結升華：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關系來驗證是否能構成三角形 舉一反三： 【變式1】當頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論 等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內角的度數
【變式2】當高的位置關系不確定時，必須分類討論 等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內角的度數。
【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論 在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為45°，求∠B的度數。
【變式4】由腰上的中線引起的分類討論 等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。
類型三：等腰三角形的性質定理與全等三角形的應用
3.如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD
思路點撥: 要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到結論．
解析：連接AC、AD?
在△ABC和△AED中，
AB=AE（已知）
∠ABC=∠AED（已知）
BC=ED（已知）
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形的對應邊相等） 又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）
∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）
【變式1】如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．
課后作業
一、填空： 1、等腰三角形的的兩邊長為4cm和9cm，則該等腰三角形的周長為______cm。
2、等腰三角形的周長為20?cm，一邊長為6?cm，則底邊長為___________。
3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角為_____。
4、已知BD是等腰△ABC的角平分線，如果∠A=80°，那么∠ADB等于____。
5、如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA4的長度為_________。
6、如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中點，DE⊥AC.? 則AB?:?AE＝____________。
7、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你認為正確的序號都填上）。
第6題圖 第7題圖 二、選擇題 1. 若一個三角形的三個外角度數比為2：3：3，則這個三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數是（ ） 圖1 A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 3. 如圖2，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．108°
圖2 圖3
4. 如圖3，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（ ）
5. 在△ABC中，AB=AC，下列推理中錯誤的是（???）
A、如果AD是中線，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC?
B、如果BD是高，那么BD是角平分線?
C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC?
D、如果AD是角平分線，那么AD也是BC邊的垂直平分線
三、解答題 1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數，求各邊長。
2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數。 （2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。
3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。
4、 如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。 求證：AE＝CD。
5、如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求∠A的度數
6、“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學給出了如下論斷： 甲：正確。因為若兩邊都是直角邊，則用（SAS）全等識別法就可以證它們全等。 乙：正確。因為若其中一邊是直角邊，另一邊是斜邊，則可用（HL）定理證全等。 丙：不正確。若一個三角形較長的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長的直角邊相等，則顯而易見兩個三角形不全等。 請你就這三個同學的見解發表自己的意見。
等腰三角形的性質(3)
【知識要點】
1．等腰三角形的概念：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。
【注意】相等的兩邊稱為腰；另一邊稱為底邊。
2. 等腰三角形的構成條件：2倍腰長大于底邊長。
【注意】由三角形兩邊之和大于第三邊推得。做題時必須用此條件驗證計算所得等腰三角形是否成立。
3. 等腰三角形的性質：等腰對等角。
【注意】即腰所對的兩個角相等。
4． 等腰三角形的判定：等角對等腰。
5. 等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。
6． 等邊三角形的性質：三個內角相等，且為60°.
7． 等邊三角形的判定：
（1）一般三角形三邊相等；
（2）一般三角形兩內角等于60°；
（3）等腰三角形底邊與腰相等；
（4）等腰三角形有一個內角等于60°.
【典型例題】
1．等腰三角形的性質
【例1】如圖， ABC中，D、E兩點分別在AC、BC上，則AB=AC，CD=DE。若 A=40 ， ABD： DBC=3：4，則 BDE=( )
(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40
【分析】兩次利用等腰三角形的兩腰相等和三角形的內角和為180
【解答】B。由AB=AC，得到 ABD=70 和 DEB=110 ， ABD： DBC=3：4可以得到 DBE=40 ，所以 DBE=30
【點評】從已知條件中獲取足夠信息證明得到其他的兩個內角，進而得到所求角。
【例2】如圖，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度數；
(2)求DE的長.
【分析】（1）先求出其他的兩個內角（2）利用等腰三角形三線合一的性質
【解答】（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝
（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分線，∴D為AC的中點
∵DE∥BC，∴E為AB的中點，
∴DE＝
【點評】利用等腰三角形三線合一的性質，是解決此類問題的典型解法，需要體會掌握。
2．等腰三角形的判定
【例1】如圖，已知BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC交AB于E，求證：△BED是等腰三角形．
【解答】∵BD是∠ABC的角平分線 ∴∠ABD＝∠CBD
∵DE∥BC ∴∠CBD＝∠BDE
∴∠ABD＝∠BDE
∴BE＝DE
∴△BED是等腰三角形
【點評】通過已知條件得到兩個內角相等，從而判定等腰三角形。
3．等邊三角形的性質
【例1】下列命題不正確的是（ ）
（A）等邊三角形的角不能是鈍角
（B）等邊三角形不能是直角三角形
（C）若一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形
（D）兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形
【分析】根據題目的說法進行舉例。
【解答】（B）。（A）等邊三角形的角都為60°；（B）同（A）解答；（C）等邊三角形的性質之一；（D）等邊三角形可以分解得到兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形。
【點評】熟悉三角形的性質是解題的關鍵
【例2】已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD.
【分析】要證AE=CD，需證△ABE和△CBD,利用△ABC和△BDE都是等邊三角形可證
【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°
又∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE
∴在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD
【點評】從結果反推到已知條件即可。
4．等邊三角形的判定
【例1】 如圖，C為線段AB上一點，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE與CD交于點M，BD與CE交于點N，AE交BD于點O．
求證：（1）AE＝BD
（2）∠AOB＝120°
（3）△CMN是等邊三角形
【分析】（1）根據等邊三角形的性質可用SAS證明△ACE≌△DCB，則得AE＝BD同時可得∠CEA＝∠CBD；（2）因此可由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°；（3）易知∠DCE＝60°，故只需證△MCE≌△NCB即可.
【解答】
【點評】利用等邊三角形的性質獲取等量關系。
【基礎訓練】
1. 如圖，在等腰三角形中，，點是底邊上一個動點，分別是的中點，若的最小值為2，則的周長是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 在中，，，點為的中點，于點，則等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（ ）
（A）9cm （B）12cm （C）15cm （D）12cm或15cm
4. 如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：
1 AD=BE；
2 PQ∥AE；
3 AP=BQ；
4 DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的有______________（把你認為正確的序號都填上）．
5. 已知等腰三角形的一個角為70°，則它的頂角為 度.
6. 如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上（端點A、C除外），設甲蟲P到另外兩邊距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）無法確定
【能力提高】
1. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，腰長為4 cm，則其腰上的高為 cm.
2. 如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn＝________。
3. 如圖，有一底角為35°的等腰三角形紙片，現過底邊上一點，沿與底邊垂直的方向將其剪開，分成三角形和四邊形兩部分，則四邊形中，最大角的度數是 ．
4. 如圖，AB=AC，，AB的垂直平分線交BC于點D，那么 。
5. 已知:等邊△ABC中，DB是AC邊上的高，E是BC延長線上一點，且DB=DE，求∠ E的度數
6. 如圖，等邊△ABC中，D是AB上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連結AE．求證：AE//BC．
7. 已知，如圖1，是等邊三角形，過AB邊上的點D作DGBC，交AC于點G，在GD的廷長線上取點E，使DE＝DB，連接AE、CD．
（1）求證：≌．
（2）過點E作EF//DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結論．
8. 如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可） .
9. 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點E、F是AD的三等分點，若△ABC的面積為12cm2，則圖中陰影部分的面積是_______ cm2.
10. 如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC．求∠AEB的大小；
《三角形》章節測試
（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間90分鐘）
一、選擇題（本大題共14個小題，每小題3分，共42分）
1. 在下列長度的四根木棒中，能與4cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）．
（A）4cm （B）5cm （C）9cm （D）13cm
2. 在下圖中，正確畫出AC邊上高的是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
3. 如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD＝PE，則△APD與△APE全等的理由是（ ）．
（A）SAS （B）AAS
（C）SSS （D）HL
4. 如果在△ABC中，∠A＝70°－∠B，則∠C等于（ ）．
（A）35° （B）70° （C）110° （D）140°
5. 下列說法錯誤的是（ ）．
（A）三角形三條中線交于一點 （B）三角形三條角平分線交于一點
（C）三角形三條高交于一點 （D）三角形中線、角平分線、高都是線段
6. 在下列條件中，不能說明△ABC≌△A’B’C的是（ ）．
（A）∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，AC＝A’C’
（B）∠A＝∠A’，AB＝A’B’，BC＝B’C’
（C）∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，AB＝A’B’
（D）AB＝A’B’， BC＝B’C，AC＝A’C’
7. 在下列說法中，正確的有（ ）．
①三角對應相等的兩個三角形全等
②三邊對應相等的兩個三角形全等
③兩角、一邊對應相等的兩個三角形全等
④兩邊、一角對應相等的兩個三角形全等
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
8. 下列說法正確的是（ ）
（A）兩個周長相等的長方形全等 （B）兩個周長相等的三角形全等
（C）兩個面積相等的長方形全等 （D）兩個周長相等的圓全等
9. 判定兩個三角形全等，給出如下四組條件：
①兩邊和一角對應相等；②兩角和一邊對應相等；
③兩個直角三角形中斜邊和一條直角邊對應相等；④三個角對應相等；
其中能判定這兩個三角形全等的條件是（ ）
（A）①和② （B）①和④ （C）②和③ （D）③和④
10. 三角形的三個內角中，銳角的個數不少于（ ）
（A） 1 個 （B） 2 個 （C） 3個 （D）不確定
11. 適合條件∠A =∠B =∠C的三角形一定是（ ）
（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形（C）直角三角形（D）任意三角形
12. 有兩個角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形（ ）
（A）必定全等（B）必定不全等（C）不一定全等（D）以上都不對
13. 面積相等的兩個三角形（ ）
（A）必定全等（B）必定不全等（C）不一定全等（D）以上都不對
14. 如圖，AB∥CD，AD∥BC，AC與BD相交于點O，則圖中全等的三角形有（ ）．
（A）1對 （B）2對 （C）3對 （D）4對
二、填空題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
15. 已知一個三角形的三條邊長為2、7、x，則x 的取值范圍是 。
16. 等腰三角形一邊的長是4，另一邊的長是8，則它的周長是 。
17. 已知三角形的兩邊長分別是2cm和5cm,第三邊長是奇數，則第三邊的長是 。
18. 如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，與∠A相等的角是 ，理由是 。
19. 如圖，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為100cm2 ，則△ABD的面積是 cm2 。
20. 如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數是 ，∠FBC的度數是 。
21. 如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點O，若∠BOC=116°，那么∠A的度數是 。
22. 為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是 。 ．
23. 直角三角形中，兩銳角之比為1：2，則兩銳角的度數分別為 。
24. 完成下面的推理：如圖，
（1）在△ABC與△A’B’C’中，
∴△ABC≌△A’B’C’(SAS)．
（2）在△ABC與△A’B’C’中，
∴△ABC≌△A’B’C’(AAS)．
三、解答題（本大題共6個小題，共78分）
25. 如圖，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，則△ABC≌△ADE，請說明理由。
26. 如圖，AB=CD，AD=CB；試證明AD∥BC。
27. 如圖，E是AB上一點。若AC=AD，BC=BD，則CE=DE嗎？請說明理由。
28. 如圖，△ABD≌△ABC，∠C＝100°，∠CBD＝30°，求∠DAB的度數.
29. 如圖，已知A、B、C、D在同一直線上，AC= BD，DE∥AF，且DE = AF，求證：⊿AFC≌⊿DEB
30. 已知：如圖，AC，BD互相平分于點O，求證：△AOB≌△COD
等腰三角形的性質(4)
《等腰三角形》
《等腰三角形》
各位評委，老師:
大家好! 今天我說課的內容是人教版數學八年級上冊第十二章第3節《等腰三角形》的第一課時，下面我將從以下幾個方面進行分析，一、教學分析及重難點，二、教學目標分析，三、教法與學法分析，四、教學過程設計分析。
一、 教材分析
1、教材的作用和地位
《等腰三角形》是按排在學習了軸對稱以及學習了全等三角形的基礎上進行學習的。主要學習等腰三角形的“等邊對等角”和“等腰三角形的三線合一”兩個性質,本節內容既是前面知識的深化和應用，又是今后學習等邊三角形的基礎知識，還是今后證明角相等、線段相等及兩直線互相垂直的依據，從而突破了用全等三角形來證明角相等，線段相等的這種單一的極限，因此本節課具有承上啟下的重要作用。
word/media/image1.gif
2、學情分析
八年級學生的抽象思維趨于成熟，形象直觀思維能力較強，具有一定的思考，歸納，概括等能力，能進行簡單的推理論證，掌握了三角形全等和軸對稱的知識。在本節課的教學中，可讓學生從已有的生活經驗出發，參與知識的產生過程，在實踐操作、自主探索、思考討論、合作交流等數學活動中，理解和掌握數學知識和技能，形成數學思想和方法，讓每個學生在數學上得到不同的發展。
3、教學重、難點：
重點：等腰三角形的性質及其應用。
難點：等腰三角形性質的證明。
二、教學目標分析
知識目標：讓學生能理解等腰三角形的性質，會利用等腰三角形的性質進行簡單的推理計算。
技能目標：通過觀察等腰三角形的對稱性培養學生觀察，分析，歸納問題的能力。通過運用等腰三角形的性質解決有關問題，提高分析問題，解決問題能力，發展數學應用意識。
情感態度目標：通過引導學生動手實踐，觀察，發現，激發學生的學習興趣，用實物圖片讓學生感受幾何應用美，在解答問題的過程中獲取成功的體驗，建立學習自信心。
三、教法與學法分析
根據“教師是教學活動的組織者，引導者，學生是主體”，針對八年級學生的認知結構和心理特征，教師應激發學生學習的積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，引導他們進行自主探索和合作交流，喚起學生的創新意識，根據教材特點和學生實際，采用了以觀察法、發現法、實驗操作法、探究法為主的教學方法進行教學。 為了啟發學生思維，增強教學的直觀性，我用以ppt及幾何畫板軟件相結合的課件，多媒體與黑板相結合進行授課。
四、教學過程設計
教學過程流程：(一)創設情境，觀察聯想（二）動手操作，揭示課題（三）、啟發引導，推理證明（四）、講解例題（五）隨堂練習（六）課堂小結和作業布置(一)創設情境，觀察聯想（約3分鐘）
利用多媒體課件展示一組圖片：埃菲爾鐵塔、長江大橋、水晶塔、金字塔、歐式建筑等
讓學生觀察圖中有哪些幾何圖形，引出等腰三角形。
設計意圖：讓學生感受等腰三角形在實際生活中的應用，從生活中去發現數學、探究數學、認識并掌握數學，同時也激發學生的興趣，吸引學生的注意力，培養學生從實際問題背景中抽象出數學問題的能力。
（二）動手操作，揭示課題（約12分鐘）
探究1：把一張長方形紙片按圖中的虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開得△ABC。設計問題： AC和AB有什么關系？
這個三角形ABC是什么三角形？它是不是軸對稱圖形？
word/media/image2.gif回憶復習等腰三角形的相關概念。 設計意圖：在這個動手操作的環節中，讓學生按要求剪出一個等腰三角形，為下面的折紙作好鋪墊，結合剪出的等腰三角形復習相關概念，在此引導學生觀察出等腰三角形是軸對稱圖形，折痕為其對稱軸，引出課題。 活動2: 思考：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD對折，找出其中相等的線段和角。 設計活動：教師把全班同學分成每四人為一組，讓學生自己動手折紙觀察，探討，歸納，然后完成表格。
word/media/image3.gif讓學生根據自己的觀察的結果，大膽猜想△ABC是否有什么性質特征存在，教師用多媒體課件演示對折重合過程。教師設問：等腰三角形中除了兩腰相等之外，還有其他的特征嗎？學生自己歸納得出性質。
得到：兩腰相等，兩底角相等。
等腰三角形底邊的中線，底邊的高，頂角平分線互相重合。 設計意圖:通過組織學生小組性合作，觀察完全重合的兩半三角形思考，根據軸對稱的性質了解到，對應重合的邊相等，重合的角相等，得到其中相等的線段和角，培養學生自主探究和合作交流的能力，教師在此引導，通過學生的觀察、比較、分析、歸納之后，再使用幾何畫板課件演示幫助學生更好理解和探索兩個性質。從這個活動中讓學生體會到知識的發生，發展過程，而且較好的培養了學生的創新意識以及發散思維。
（三）、啟發引導，推理證明（約12分鐘）
性質1：等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角) 。
這種文字命題的證明對學生來說有一定的難度，因此設計以下問題幫助學生理順思路，化簡難點。
問題：(1)?性質1中的條件和結論是什么?結合畫出的圖形，寫出已知和求證。 (2)?證明角和角相等有哪些方法?如何證明∠B =∠C?
師生共同行為：經過學生思考，可能會有以下的輔助線的做法：word/media/image4.gif?做底邊的中線word/media/image5.gif做底邊的高word/media/image6.gif做頂角平分線。以底邊的中線為例讓一學生口述證明，教師板書，其他兩種證法用課件演示過程，達到規范和鞏固的目的。同時說明上述的過程中也證明了性質2，師生共同口述驗證性質2的證明過程。
填空：
（1）如圖1，在△ABC中 ∵ AB=AC ，∴∠＿＿＝∠＿＿
（2）如圖2，在△ABC中 ， AB=AC
(1) ∵ AD平分∠BAC
∴AD⊥ ， ＝CD.
(2) ∵ AD是BC的中線,
∴ ⊥ ,∠＿＝∠＿.
(3) ∵ AD 是BD的高,
∴ ＿ ＝ ＿, ∠＿＝∠＿.
word/media/image7.gif
在此過程后，我再以課件動態演示在等腰三角形中“三線合一”這一性質，讓學生更加直觀的體會到這個性質。
word/media/image8.gifword/media/image9_1.png word/media/image10_1.png
設計意圖:兩個性質的證明增強學生的理性認識，驗證性質的正確性，提高演繹推理能力。通過嘗試活動使數學成為再發現，再創造的過程。接下來把性質定理轉化成數學符號，讓學生更好的理解性質及自覺的運用性質，突出本節課的重點。為今后證明題提供新的理論依據。
（四）、講解例題（約10分鐘）
word/media/image11.gif例1：在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數。
考慮到學生已有的知識和對新知識的運用，設計以下問題，引導學生思路，幫助學生獨立完成例題，讓一學生上臺板演，教師及時糾正。
分析：(1)圖中共有幾個等腰三角形？有幾組相等的角？
（2）這些角有什么數量關系？
(3)設∠A為x°，你能分別表示出 圖中其它各角嗎？
設計意圖： 通過問題的設問讓學生找到解題的突破口，結合舊知識“三角形的外角”定理，利用等腰三角形的性質1來完成例題，這個環節培養學生分析問題，自主解決問題的能力。把課堂還給學生，使學生成為學習的主人。（五）隨堂練習（約6分鐘） 練習：課本第51頁第2題（重點對性質2的應用）、第3題（重點對性質1的應用）
設計意圖：通過練習針對兩個性質的運用，讓學生進一步鞏固等腰三角形性質的理解及應用。在學生學習完新的知識后，通過自己的理解，掌握，歸納，然后運用于試題當中去。
（六）課堂小結和作業布置（約2分鐘） 課堂教學中概括和總結是重要的教學環節，采用啟發引導，學生自主歸納的方式來完成這一環節，首先我讓學生回想一下本節課的內容，設問：“通過本節課的學習，你對等腰三角形有什么新的認識嗎？”讓學生全員參與，感受收獲知識的喜悅心情。 作業布置：必做題P56 第1題 選做題 第5題 設計意圖：分為必做題和選做題。使每個學生都能得到充分的發展。
板書設計
word/media/image12.gif12.3等腰三角形（1）
等腰三角形性質1——— 證明： 例題練習等腰三角形性質2————
總之，在整個教學過程中，我遵循著“教師為主導，學生為主體，訓練為主線”的原則，在課上的每個環節中通過各種媒體，各種手段，始終注重興趣的激發，培養學生的學習熱情，讓他們在輕松愉快中學習知識。 以上是我對這節課的教學設計，望各位老師批評指正，謝謝大家！
等腰三角形的性質(5)
等腰三角形
練習題
(第一課時)
一、選擇題
1．等腰三角形的對稱軸是（ ）
A．頂角的平分線 B．底邊上的高
C．底邊上的中線 D．底邊上的高所在的直線
2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（ ）
A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm
3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是（ ）
A．100° B．100°或40° C．40° D．80°
5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．108°
二、填空題
6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．
7．等腰三角形“三線合一”是指___________．
8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________．
9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數是_____．
10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上
（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；
（2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；
（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．
三、解答題
11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周長分別是20cm和16cm，求AD的長．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC.
13．已知△ABC中AB=AC，點P是底邊的中點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，
求證：PD=PE.
四、探究題
14．如圖，CD是△ABC的中線，且CD= AB，你知道∠ACB的度數是多少嗎？由此你能得到一個什么結論？請敘述出來與你的同伴交流．
答案:
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．60
7．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合
8．（90+ n）° 9．70° 10．略 11．6cm
12．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC
13．連接AP，證明AP平分∠BAC．
14．∠ACB=90°．結論：若一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
練習題
(第二課時)
一、選擇題
1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（ ）
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm
（1） (2) (3)
2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結論中不正確的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF
二、填空題
5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．
6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．
7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．
8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進30海里后到達小島，此時測得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．
三、解答題
9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點F，且∠ABD=∠ACE，
求證：BF=CF．
10．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，
求證：△DBE是等腰三角形．
四、探究題
11．如圖，AF是△ABC的角平分線，BD⊥AF交AF的延長線于D，DE∥AC交AB于E，
求證：AE=BE．
答案:
1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里
9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC
10．證明∠D=∠BED
11．證明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分別得到AE=DE，BE=DE
等邊三角形
練習題
一、選擇題
1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等邊三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準備的判斷是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀
二、填空題
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．
7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．
8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______．
三、解答題
10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？
11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD.
12．如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH的形狀并說明理由．
四、探究題
13．如圖，點E是等邊△ABC內一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數．（提示：連接CE）
答案：
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60° 7．60°
8．三；三邊的垂直平分線 9．1cm 10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=2AD，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．
又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；
②證明△BCF≌△ACH；
③△CFH是等邊三角形．
13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，
再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
等腰三角形的性質(6)
20.3.1等腰三角形
授課教師 黑龍江省市哈爾濱二十一中學 于海波
教 材 人教版義務教育課程標準實驗教科書
數學八年級（上）第二十章第三節第一課時
一、教學設計的理念
基礎教育課程改革和《義務教育課程標準》中指出教師的責任重不在“教”，而是在于“導”；倡導學生主動參與，勇于探索；引導學生由“學會”向“會學”這個更高層次過渡；努力為學生創設新舊知識間聯系的情境，以“溫故”作為“知新”的紐帶，營造一個激勵探索和理解的氣氛，鼓勵學生大膽質疑，從而培養學生的問題意識，引導學生學會分享彼此的思想和結果，指導和培養學生形成良好的學習習慣．
二、教材的分析與處理
1．教材的地位與作用
等腰三角形的性質定理是初中數學的一個重要定理，也是本章的重點內容．本節內容是在學生學習了三角形的基本概念、全等三角形和軸對稱知識的基礎上進一步研究特殊的三角形——等腰三角形，也為后續學習等邊三角形、特殊四邊形等內容提供重要基礎．
教材中，等腰三角形性質的證明，是借助于軸對稱發現的，通過軸對稱獲得添加輔助線的證明方法．特點之一是它揭示了同一個三角形的邊、角關系及等腰三角形“三線合一”這一特征；特點之二是等腰三角形性質的證明本身為我們提供了利用構造全等的方法證明角等、邊等問題；特點之三是等腰三角形性質為我們提供了證明個角相等的新方法，為以后的學習提供了證明和計算依據，有助于培養學生思維的靈活性和廣闊性，所以本節內容承上啟下,至關重要．
2．教材的處理
為了幫助學生更好的探究等腰三角形性質及性質的證明方法，及如何用嚴密的數學語言去歸納表述，我在處理本節課的知識過程中，首先，讓學生通過動手操作，通過折疊、裁剪、觀察、猜想等一系列活動，在進一步認識等腰三角形的同時，大膽猜測 “等邊對等角”、“三線合一”等現象，并能夠利用數學語言及符號語言來表達．之后，在歸納總結證明角相等的方法之后，讓學通過想一想、議一議等活動完成等腰三角形性質的證明，使學生在動手操作與動腦思考的過程中深刻感受數學思想和方法的運用．
教材中的例題，由于運用了方程的數學思想，學生解決起來有困難，因此進行了適當的改變．
3．教學目標
根據新課程標準的基本理念，結合八年級數學教材的結構特征和學生的認知結構特點，教學目標設計如下三方面：
知識與技能
1．經歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形，了解等腰三角形是軸對稱圖形，通過觀察、操作、說理等活動，發現并歸納等腰三角形兩個底角相等的性質；
2．掌握等腰三角形兩個底角相等及“三線合一”的性質，能運用等腰三角形的性質解決有關的簡單問題，發展基礎性的邏輯推理能力．
過程與方法
1．經歷用邏輯推理方法推導等腰三角形兩個底角相等的性質，體會實驗歸納和邏輯推理兩種研究方法的聯系與區別；
2．通過對等腰三角形性質證明的探究，培養學生多角度思考問題的習慣，提高學生分析問題和解決問題的能力．
情感態度與價值觀
通過引導學生對圖形的觀察、發現，激發學生的好奇心和求知欲，在問題的探究過程中，培養小組合作意識，并在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的自信心．
4．重點、難點
教學重點 等腰三角形性質的發現與證明方法的探究．
教學難點 等腰三角形性質的證明方法的探究．
三、教學方式的構建
學情分析
學生是在在學過了三角形的基本概念、全等三角形和軸對稱知識的基礎上學習的．學生雖然在這一階段思維深刻性有了明顯提高，有著獨特的認識問題和解決問題的思維方式，但有些方面仍需要注意．
1．等腰三角形的相關概念，容易混淆，如有“兩腰相等的三角形是等腰三角形”；
2．幾何符號語言；
3．證明的全過程：(已知、求證、證明)
4．證明方法的思維構建 ．
教材分析
新課程理念強調我們的課程不僅是文本課程，更是體驗課程，它不再是知識的載體，而是教師和學生共同探究新知的過程；使教學成為一種對話、交往，一種溝通、合作與共建．教師不僅要傳授知識，更要與學生一起分享對課程的理解．
因此，本節課我主要采用兩種教法：1、操作探索法 2、分析教學法
學法指導
本節課在定理的探究過程中，通過學生自己動手操作、大膽猜想、議一議等活動，讓學生自己主動“發現”等腰三角形的性質，這樣做有利于活躍學生的思維。在定理的證明過程中，教師要引導學生構數學建思維方式，總結整體一般方法與策略，通過定理證明這一過程，讓學生感受數學方法在數學問題的解決中的重要性．
教學手段
學生：準備紙板、剪刀、直尺．
教師：準備多媒體課件、實物投影展臺、實物教具．
四、教學程序設計
（一）學前回顧——溫故知新
等腰三角形是一種特殊的三角形,它有著與一般
三角形所不具有性質，那么今天我們就共同來研究
等腰三角形的性質．首先請同學們考慮等腰三角形
的定義及相關概念(板書課題)
1．等腰三角形的定義．
2．結合圖形說出等腰三角形的相關概念．
[設計意圖] 通過復習等腰三角形的相關概念，直入主題，意圖一是因學生在學習三角形等相關概念時學習的，相關概念容易混淆，二是復習它起著以舊帶新的的作用，同時也是為探求等腰三角形性質定理作準備．
（二）動手操作 —— 發現新知
把一張長方形紙片按圖中的虛線對折，先畫
出一直線，剪去右邊部分，打開后得到的△ABC
有什么特點？
在這一環節中，教師通過多媒體課件移動化
的形式展示操作過程，然后由學生自己獨立完成
操作過程，并結合自己所得到的三角形，說明該
三角形的特征，即有裁剪線相等，所得到的三角
形為等腰三角形．
[設計意圖] 讓學生經歷動手操作這一過程，感受到等腰三角形具有軸對稱這一特征，為發現等腰三角形的性質作鋪墊，同時也為等腰三角形性質的證明（添加輔助線的）方法提供依據．
（三）觀察總結——發現新知
首先學生把手中的等腰三角形紙片再進行對折，
通過觀察，思考些列問題：
1．上面剪出的等腰三角形是軸對稱圖形嗎？對稱
軸是什么？
2．把剪出的等腰△ABC沿折痕對折，找出其中相
等的線段和相等的角，并填寫在表格中．
3．等腰三角形除兩腰相等以外，你還能發現它的
其它性質嗎？
在這一環節中，教師要引導學生，折痕AD在圖
形中的地位，如因為 ∠BAD＝∠CAD，說明線段AD
是△ABC的頂角平分線等，進而得到等腰三角形可能
所具有性質，也就是：
猜想一：等腰三角形的兩個底角相等．
猜想二：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
[設計意圖] 讓學生自己通過觀察、發現歸納出等腰三角形可能具有的性質，培養學生的歸納總結能力．
（四）演繹歸納——升華新知
在數學中光有猜想是不夠，還需要數學證明，下面我們就來論證猜想，首先，請同學們根據猜想寫出已知、求證．
在性質的證明這一環節中，首先讓學生回憶證明兩
個角相等有哪些證明方法（如平行線性質、全等、等量
代換），由于性質中的兩個底角在一個三角形中，如何
把兩個角放在兩個三角形中，利用三角形全等的方法證
明成為問題解決的關鍵，進而總結出如果兩個角所在的
兩個三角形不全等或這兩個角不在兩個三角形中，可以利用“構造全等”的辦法來解決．
[設計意圖] 通過對證明兩個角相等的方法的歸納，讓學生掌握幾何證明的基本策略，為性質的證明做鋪墊，同時也培養學生結局問題的能力．
在性質1的證明過程中，鼓勵學生選擇不同的思考與證明方法，對于學生思考有問題或有疑惑時，教師加以適當的點撥，對于學生通過不同方法教師及時給予評價，并分組展示方法．
[設計意圖] 讓學生在探究等腰三角形性質證明方法這一過程中，培養學生合作意識，體會數學方法的重要性，理解“構造全等”在證明問題中的重要性．
在學生掌握證明方法后，再引導學生用數學語言來總結這一規律：
即 在△ABC中，
∵AB=AC.
∴∠B=∠C
教師同時強調對于“等邊對等角”這一性
質的得出，為我們證明角相等提供了重要依據．
對于性質2的得出，指出同學們在性質1證
明過程中，很容易說明性質二是正確的，進而得
到等腰三角形的性質2的證明．
對于性質2，教師要強調一是“三線合一”
本身有三層含義；二是“頂角”平分線、“底
邊”中線、“底邊”上的高相互重合．三是“三
線合一” 也為證明“線段相等”、“角平分線”、
“線段垂直”提供了重要依據．
教師接下來對本節課進行階段性小結．
[設計意圖] 讓學生在探究等腰三角形性質證明方法這一過程中，培養學生合作意識，體會數學方法的重要性，理解“構造全等”在證明問題中的重要性．
（五）實踐應用——鞏固新知
為了學生更好的理解等腰三角形的性質，這里配備三組練習．
小試牛刀
[設計意圖] 加深對“等邊對等角”這一性質的理解，掌握等腰三角形頂角與底角之間的數量關系，理解分類討論思想的作用．
學以致用
[設計意圖] 故事中的反饋旨在讓學生體會數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，加深學習數學的興趣．
大顯身手
[設計意圖] 讓學生體會代數思想在幾何計算題中所發揮的作用．
（六）收獲與感悟
為
（七）布置作業
為
[設計意圖]
五、板書設計
．
幾 點 說 明
《數學課程標準》明確指出：我們要使數學教育面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展．
為使數學學習真正的做到以學生的發展為本，學生的數學學習活動應當為一個生動活潑，主動和富有個性的過程， 在教學中我注重設計適合自己學生特點的活動，讓學生在足夠的空間和時間里動腦思考、動手實踐、合作交流，在活動中體驗與理解知識，從而獲取知識和增強能力．
在每個環節充分體現了教師為主導，學生為主體的教學原則，讓學生人人動手、動腦，積極參與教學活動．使學生在合作中獲取，在探究中發展．
1．什么是等腰三角形？定義錯誤問題
2．證明的全過程：(已知、求證、證明)符號語言問題，
3．幾何符號語言；
4．問題探究的合理性和科學性，如何由合情推理到演繹推理。
5．教學目標的確定：
6．例習題的搭配
7．面對學生的認知情況的不確定性，
8．多媒體的使用價值；
9．課時安排問題。
個人簡介：相關教輔
學
校
哈爾濱市第七十二中學校
授課教師
潘 巖
班 級
八年 班
課題
20.3.1等腰三角形（1）
備課日期
2014年
10月10日
上課日期
2014年
10月16日
教
學
目
標
知識與技能：
1．經歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形，了解等腰三角形是軸對稱圖形，通過觀察、操作、說理等活動，發現并歸納等腰三角形兩個底角相等的性質；
2．掌握等腰三角形兩個底角相等及“三線合一”的性質，能運用等腰三角形的性質解決有關的簡單問題，發展基礎性的邏輯推理能力．?
過程與方法：
1．經歷用邏輯推理方法推導等腰三角形兩個底角相等的性質，體會實驗歸納和邏輯推理兩種研究方法的聯系與區別；
2．通過對等腰三角形性質證明的探究，培養學生多角度思考問題的習慣，提高學生分析問題和解決問題的能力．
情感態度與價值觀：
通過引導學生對圖形的觀察、發現，激發學生的好奇心和求知欲，在問題的探究過程中，培養小組合作意識，并在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的自信心．
教學重點：等腰三角形性質的探究與證明．
教學難點：等腰三角形性質的證明方法的探究．
教學手段：多媒體課件、實物投影儀、剪刀、直尺、紙板．
教
學
程
序
設
計
步驟
教 學 過 程
學生活動
教師活動
教學方式或 媒 體
時間
學前回顧
溫故知新
環節一： 溫故知新
1．什么是等腰三角形？
2．根據圖形說出等腰三角形的相關概念．
腰： AB、AC
底邊：BC
頂角：∠A
底角：∠B、∠C
知識回顧
回答問題
認真聆聽
及時評價
歸納總結
演示
步驟
教 學 過 程
學生活動
教師活動
教學方式或 媒 體
時間
教
學
程
序
設
計
動手操作
發現新知
環節二： 動手操作
把一張長方形紙片按圖中的虛線對折，先畫出一直線，剪去右邊部分，打開后得到的△ABC有什么特點？
動手操作
觀察分析
回答問題
及時評價
歸納總結
演示折紙剪紙操作方法
觀察總結
歸納新知
環節三： 大膽猜測
1．上面剪出的等腰三角形是 軸對稱圖形嗎？對稱軸是什么？
相等的邊
相等的角
2．把剪出的等腰△ABC沿折痕對折，找出其中相等的線段和相等的角，并填寫在表格中．
3．等腰三角形除兩腰相等以外，你還能發現它的其它性質嗎？
猜想一：等腰三角形的兩個底角相等．
猜想二：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
歸納總結
點撥評價
演示
步驟
教 學 過 程
學生活動
教師活動
教學方式或 媒 體
時間
教
學
程
序
設
計
歸納演繹
升華新知
環節四： 科學論證
1．如何證明兩個角相等？
2．如何構造兩個全等三角形？
3．總結證明方法(構全等)．
4．歸納性質：
性質一：
等腰三角形的兩個底角相等．簡寫成“等邊對等角”．
符號語言：
在△ABC中，
∵AB=AC.
∴∠B=∠C．
性質二：
等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．簡寫成“三線合一”．
符號語言：
在△ABC中，
⑴∵AB=AC，∠BAD=∠CAD.
∴BD=CD，AD⊥BC．.
⑵∵AB=AC，BD=CD.
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．
⑶∵AB=AC，AD⊥BC.
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD．
5．數學方法歸納：
⑴證角等的方法：證等腰；
⑵利用等腰三角形的“三線合一”這一性質可證明線段垂直平分及角平分線．
小組合作
積極思考
探索方法
實物投影展示交流
點撥評價
歸納總結
演示
實踐應用
鞏固新知
環節五： 小試牛刀
1．如圖，在下面所給的等腰三角形中，它們的底角分別為多少度？
積極思考
回答問題
認真聆聽
及時評價
演示問題
步驟
教 學 過 程
學生活動
教師活動
教學方式或 媒 體
時間
教
學
程
序
設
計
實踐應用
鞏固新知
2．等腰三角形中的底角只能是( )．
A．銳角 B．直角 C．鈍角
3．等腰三角形中的一個角是80°，它的另外兩個角分別為多少度？
4．判斷題：等腰三角形的角平分線，也是高和中線．
學以致用
1．愛思考的小明在埃及游覽時，發現金字塔的每個側面都是由等腰三角形構成的，于是他只測量了一個底角，就說出了頂角的度數，你知道為什么嗎？．
2．把一把等腰直角三角板和一個重錘做成如圖所示裝置，利用此裝置就可以檢驗黑板掛的是否水平，你知道怎樣檢驗嗎？
大顯身手
如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．
⑴圖中有幾個等腰三角形；
⑵圖中有那些相等的角；
⑶求△ABC各角的度數．
積極思考
回答問題
實物投影
展示
認真聆聽
及時評價
演示問題
收獲
與感悟
知識上：等腰三角形的性質；
方法上：⑴證明角等的方法；⑵利用等腰三角形的“三線合一”這一性質可證明線段垂直平分及角平分線．
情感上：合作意識．
歸納總結
歸納總結
板
書
設
計
20.3.1等腰三角形
A
B
C
性質1：等腰三角形的兩個底角相等． 證明角等的方法：
簡寫成“等邊對等角”． ⑴
性質2：等腰三角形的頂角的平分線、 ⑵
底邊上的中線、底邊上的高 ⑶
相互重合．簡寫成“三線合一”． ⑷
在△ABC中， “三線合一”的用途
∵AB=AC.
∴∠B=∠C．
等腰三角形的性質(7)
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“3+1學習共同體”課堂任務單
1.1.1等腰三角形
1、△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，則∠A=________，∠ABD=________。
2、等腰三角形的兩邊長是3和5，它的周長是 。word/media/image5_1.png
3. 已知等腰三角形的一個內角為80°，則另兩個角的度數是 。
4.△ABD中，C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
1 求證：△ABD是等腰三角形。 ② 求∠BAD的度數。
5、如圖△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點D，AB=5，BC=6，求AD的長。
6. 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；求：CD的長.
7. 如圖，已知D、E在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE
word/media/image10_1.png
8.在△ABC中，AD是角平分線,DE⊥AB, DF⊥AC，
試猜想EF與AD之間有什么關系?并證明你的猜想.
9.已知：如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求證：
（1）G是CE中點（2）∠B=2∠BCE
word/media/image11_1.png
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“3+1學習共同體”課堂任務單
1.1.2等腰三角形
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，則∠B＝ 度。
2.等腰三角形的對稱軸有________
3.等腰三角形兩條邊的長分別是3和6，則其周長為_______ 。
4.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延長BC到D，使CD＝AC，則∠CDA＝__ 度。
5..等邊△ABC的周長為12cm，則它的面積為 __________ cm2
6.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度數.
7.如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數.
word/media/image18_1.png
8.如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.
求證:AE=CD
9.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接CE.
（1） 求∠ECD的度數；
（2） 若CE=5，求BC的長.
10.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB．
word/media/image22_1.png求證：BD=CE．
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1.1.3等腰三角形
1. 用反證法證明命題“三角形中至少有一個角大于或等于60°”時，第一步應假設______ .
2.在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如圖1－23所示，則圖中的等腰三角形有 _________.
3.已知：在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C．若用反證法來證明這個結論，可以假設 ( )
A、∠A＝∠B B、AB＝BC C、∠B＝∠C D、∠A＝∠C
4.正三角形一腰上的高與底邊的夾角為45°，該三角形是（ ）
A、銳角三角形 B、鈍角三角形
C、等邊三角形 D、等腰直角三角形
5．如圖1－24所示，在 □ ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC邊于點E，則BE等于 _________.
6.. 下面幾種三角形： ①有兩個角為60°的三角形； ②三個外角都相等的三角形；
③一條邊上的高也是這條邊上的中線的三角形； ④有一個角為60°的等腰三角形．
其中是等邊三角形的有 ( )A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
7.反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。
已知：△ABC
求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角。
8. 如圖1－25所示，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求證：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)BO＝DO．
9.如圖1－28所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點，過D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于E，且BD＝BE，求證△ABC是等腰三角形．
10．如圖1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上．CE ＝BC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F，求證AB＝FC．
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1.1.4等腰三角形
1、等腰三角形的底邊等于150，腰長為20，則這個三角形腰上的高是 。
2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠A =300,CD⊥AB,BD=1,則AB= 。
3、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中點，DE⊥AC,則AE:EC= 。
4、如圖，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B點的一條直線BE折疊△ABC，使點C恰好
落在AB的中點D處，則∠A= .
5、如圖是屋架設計圖的一部分，點D 是斜梁AB
的中點，立柱BC、DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，
∠A =30°，立柱BC、DE 要多長？
6.已知：如圖，△ABC中，BD⊥AC,DE⊥AC，點D是AB的中點，∠A=300，DE=1.8，求AB的長。
7.等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.
word/media/image39_1.pngword/media/image40_1.png8..
9.已知:在△ABC中,BA=BC,∠ABC=80°,點P在△ABC內,并且∠PAC=40°,∠PCA=30°．求∠BPC的度數。
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1.2.1直角三角形
1、以下命題的逆命題屬于假命題的是（ ）
A：兩角相等的三角形是等腰三角形。
B：全等三角形的對應角相等。
C：兩直線平行，內錯角相等。
D：直角三角形兩銳角互余。
2、下列命題中，其逆命題成立的是 ______________。
①同旁內角互補，兩直線平行；
②如果兩個角是直角，那么它們相等。
③如果兩個實數相等，那么它們的平方相等。
④如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形。3.判斷正誤。
A：每個命題都有逆命題，每個定理也都有逆定理。（ ）
B：命題正確時其逆命題也正確。（ ）
C：直角三角形兩邊分別是3，4，則第三邊為5。（ ）
4、下列長度的三條線段能構成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
5、命題：等腰三角形兩腰上的高相等的逆命題是 。
6、若一個直角兩直角邊之比為3：4，斜邊長20CM，則兩直角邊為（ ， ）
7、已知直角三角形兩直角邊長分別為6和8，則斜邊長為________，斜邊上的高為_________。
8、在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，
求證：AB=AC 。word/media/image46_1.png
9、小明將長2.5m的梯子斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端B到墻根C的距離是0.7m，如果梯子的頂端垂直下滑0.4m，那么梯子的底端B將向外移動多少米。
10.用四個全等的直角三角形拼成了一個如圖所示的圖形，其中a表示較短，直角三角形，b表示較長的直角邊，c表示斜邊，你能用這個圖形證明勾股定理嗎
11.如圖，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求證：BA∥DC。
word/media/image49_1.png
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1.2.2直角三角形
1、下列說法正確的有（ ）
（1）一個銳角及斜邊對應相等的兩個直角三角形全等。
（2）一個銳角及一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
（3）兩個銳角對應等的兩個直角三角形全等。
（4）有兩條邊相等的兩個直角三角形全等。
（5）有斜邊和條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
2、下列說法中錯誤的是（ ）
A.直角三角形中，任意直角邊上的中線小于斜邊。
B.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
C.直角三角形中每條直角邊都小于斜邊。
D.等腰直角三角形一邊長為1，則它的周長為
3、以下列各組為邊長，能組成直角三角形的是（ ）
A. 8、15、17 B.4、5、6
C.5、8、10 D.8、39、40
4、命題：若A＞B，則A2＞B2的逆命題是__________________________。 第5題圖
5、AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD對折，點C落在C｀的位置，則BC`與BC之間的數量關系是____________。
6、四邊形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積________。
7.已知：D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，且DE=DF，求證：BF=CE.
1.下列各選項中的兩個直角三角形不一定全等的是（ ）
A.兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形。
B.兩條銳角邊對應相等的兩個直角三角形。
C.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形。
D.有一個銳角及這個銳角的對邊對應相等的兩個直角三角形全等。
2、下列長度的三條線段能構成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A.①②④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④
3、下列命題中，假命題是（ ）
A.三個角的度數之比為1：3：4的三角形是直角三角形。
B.三個角的度數之比為1：3：3的三角形是直角三角形。
C.三邊長之比為的三角形是直角三角形。
D.三邊長之比為的三角形是直角三角形。
5.已知：R△ABC和Rt△A"B " C"，∠C=∠C"=90°，BC=B"C"，BD、B"D"分別是AC、A"C"邊上的中線且BD=B"D" (如圖)．
word/media/image55_1.png求證：Rt△ABC≌Rt△A"B"C"．
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1.3.1線段垂直平分線
1、已知線段AB及一點P，PA=PB=3cm，則點P在 上。
2.如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線， E是AB上的一點，如果EC＝7 cm，那么ED＝ cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝ 。
3.如圖，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分線，則
（1）BD = ；
（2）若∠B = 40°，則∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °。
（3）若AC= 4， BC = 5，則DA + DC = ， △ACD的周長為 。
word/media/image57_1.pngword/media/image58_1.pngword/media/image59_1.png
第2題圖 第3題圖 第4題圖
4.如圖，△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，DE為AB的中垂線，則∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC的周長為16cm，BC = 4cm，則AC = ，△BCE的周長為 。
word/media/image60_1.png5.如圖，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE = 3cm，△ABD的周長是13cm，求△ABC的周長.
word/media/image61_1.png6、在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分線交
AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，
求AB、BC的長。
word/media/image62_1.png7、如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，
DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周長。
8. 已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一點.
求證：PB=PC
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1.3.2線段垂直平分線
1、如圖， D為BC邊上一點，且BC=BD+AD，則AD__________DC，點D在__________的垂直平分線上。
第1題圖 第2題圖
2、如圖，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則∠B______∠1，∠C_____∠2；若∠BAC=126°，則∠EAG=__________度。
3.如圖，已知△ABC，求作：
（1）AC邊上的高；（2）BC邊上的高.
4.如圖，有A、B、C三個工廠，現要建一個供水站，
使它到這三個工廠的距離相等，求供水站的位置
（要求尺規作圖，只保留作圖痕跡，不寫作法）
5、如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于點E，已知△BCE的周長為8，AC－BC=2，求AB與BC的長
6、已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E，點F在DE的延長線上，且AF=CE，試探究圖中相等的線段。
7.如圖，某市三個城鎮中心A,B,C恰好分別位于 一個等邊三角形的三個頂點處，在三個城鎮中心之間鋪設通信光纜，以城鎮A為出發點設計了三種連接方案：
（1）AB+BC
（2）AD+BC(D為BC的中點)
（3）OA+OB+OC(O 為△ABC三邊的垂直平分線的交點)
要使鋪設的光纜長度最短應選哪種方案？
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1.4.1角平分線
1.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且DE=DF，求DE的長.
2.如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到∠AOB的兩邊的距離相等.
3.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.
求證:EB=FC.
4.如圖,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的長;
(2)求證:AB=AC+CD.
5.已知，如圖⊿ABC中，∠ACB的平分線交AB于E，∠ACB的補角∠ACD的平分線為CG，EG∥BC交AC于F，EF會與FG相等嗎？為什么？
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1.4.2角平分線
1.如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發現的?
word/media/image77_1.png
2.如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
word/media/image78_1.png(1)已知CD=4 cm，求AC的長；
(2)求證：AB=AC+CD．
3.已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．
word/media/image79_1.png求證：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分線．
4.如圖，在△ABC中 ，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
垂足為E.
（1）已知CD=cm，求AB的長；
（2）求證：AB=AC+CD。
5.如圖：CO,BO分別平分∠ACN和∠ABC,求證：點O在∠MAC的角平分線上。
西安高新逸翠園學校
“3+1學習共同體”課堂任務單
第一章單元檢測
1. 以下列各組為邊長，能組成直角三角形的是（ ）
A. 8、15、17 B.4、5、6 C.5、8、10 D.8、39、40
2.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（ ）A、80° B、70° C、60° D、50°
第1題圖 第2題圖 第5題圖
3.如圖4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，點P恰好在CD上，則PD與PC的大小關系是（ ）A．PD>PC B．PD
等腰三角形的性質(8)
等腰三角形的性質(二)2008-01-21
等腰三角形的性質(二)
一、教學目的
使學生熟練地掌握等腰三角形的性質．
二、教學重點、難點
重點：等腰三角形性質的應用．
難點：添加合適的輔助線．
三、教學過程?
復習提問
1 ．等腰三角形的性質．
2．等腰三角形的底角一定是＿角？
3．等腰三角形的底角為20°，求它的頂角度數．
引入新課
等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為15cm和6cm的兩部分，求這三角形各邊的長．
學生可能利用算術的方法，計算出腰長為10底邊長為1．也可能算不出來，這里教師可作如下引導：
在圖1中，AB=AC，D為AB的中點(即AD=DB)，設 AD=xcm，則 AB=AC=2cm(中線定義)．由AC+AD=15cm，得
2x+x=15．
解得 x=5，……
本題是利用列方程的方法解得的，此法對于某些幾何計算題來說，簡捷而有效．
新課
例2 已知：圖2，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且 BD=BC=AD．求△ABC各角的度數．
分析：欲求三角形各角度數．只需求出∠A度數，把∠A度數作為一個未知數x，則∠A=∠1=x°，∠2=∠A+∠1=2x°，∠ABC=∠C=∠2=2x°．應用三角形內角和定理于△ABC，求出方程所對應的幾何等式：∠A+∠ABC+∠C=180°，即可得出關于x的方程．
例3 已知：如圖3，點D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．
通過分析使學生發現，要作AF⊥BC即底邊上的高這條輔助線(這是證明的關鍵所在)，并告訴學生這是等腰三角形中一種常見的輔助線．利用這條輔助線就很容易證得結論．并說明，這是利用等腰三角形的“三線合一”性質來證明的題目．
小結
1．列方程解幾何計算題是幾何計算題的一種重要解法，在這種解法中，尋求幾何等式(如例2中∠A+∠ABC+∠C=180°)是基礎，把幾何等式的各項轉化為未知數x的代數式是關鍵(如∠A=x°，∠ABC=∠C=2x°)．
2．對于等腰三角形的”三線合一”性要靈活運用．
練習：略
作業?：略
思考題：例3中輔助線改為△ABC的頂角平分線AF，寫出證明過程．
四、教學注意問題
1．等腰三角形性質的靈活、綜合應用，防止依賴于全等三角形證明線段或角相等的思維定勢．
2．要防止“三線合一”性在應用中出現的錯誤．
等腰三角形的性質(二)
等腰三角形的性質(9)
教師
日期
學生
課程編號
課型
專題
課題
等腰三角形的性質定理
教學目標
通過觀察發現等腰三角形的性質；
掌握等腰三角形的識別方法，會用等腰三角形的性質進行簡單的計算和證明；
理解等腰三角形與等邊三角形的相互關系；
能夠利用等腰三角形的識別方法判斷等腰三角形；掌握等邊三角形的特征和識別方法；掌握一般文字命題的解題方法
教學重點
重點：等腰三角形的性質與判定。 難點：比較復雜圖形、題目的推理證明
教學安排
版塊
時長
1
等腰三角形的性質
30分鐘
2
等腰三角形的判定
30分鐘
3
例題講解
40分鐘
4
隨堂練習
20分鐘
知識點一：等腰三角形、腰、底邊
在小學里我們就已經學過，有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角
如圖所示，在△ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．
知識點二：三角形按邊分類
不等邊三角形
三角形
底邊與腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形（正三角形）
知識點三：等腰三角形的性質
1、性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．
2、這兩個性質證明如下：
在△ABC中，AB=AC，如圖所示．
作底邊BC的高AD，則有
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性質1、性質2均得證．
3、說明：
（1）①等腰三角形的性質1用符號表示為：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性質1是等腰三角形的一條重要（主要）性質，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據．
（2）①性質2實質包含三條性質，符號表示為：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；
或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．
②性質2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．
（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
一、 規律方法指導
1． 等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關性質，快捷地證出結論。
2． 常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關中線的問題。
二、 難點分析
1、 對于“等腰三角形的三線合一”一定要注意是底邊上的高線、中線和頂角平分線，其他的高、中線、角平分線不滿足三線合一。
2、 分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據邊是腰還是底來分類。
類型一：與度數有關的計算
1．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度數。 思路點撥: 解該題的關鍵是要找到∠2和∠1之間的關系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉化為欲找出∠2與∠B之間有什么關系，變成△ABD的角之間的關系，問題就容易的多了。
解析：∵AB=AC
∴∠B =∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴ ∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°－2∠2
∴∠2=∠1+180°－2∠2
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
總結升華：關于角度問題可以通過建立方程進行解決。
舉一反三：
【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度數。
【變式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度數。
類型二：等腰三角形中的分類討論
2．當腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論
（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。
（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。
思路點撥: 由等腰三角形的性質可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構成三角形的前提，因此必須進行分類討論。
解析：（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構成三角形；
當腰長為8時，周長為8+8+10=26；
當腰長為10時，周長為10+10+8=28；
故這個三角形的周長為26cm或28cm。
（2）當腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構成三角形；
當腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。
總結升華：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關系來驗證是否能構成三角形
舉一反三：
【變式1】當頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論
等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內角的度數
【變式2】當高的位置關系不確定時，必須分類討論
等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內角的度數。
【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論
在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為45°，求∠B的度數。
【變式4】由腰上的中線引起的分類討論
等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。
類型三：等腰三角形的性質定理與全等三角形的應用
3.如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD
思路點撥: 要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到結論．
解析：連接AC、AD?
在△ABC和△AED中，
AB=AE（已知）
∠ABC=∠AED（已知）
BC=ED（已知）
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形的對應邊相等）
又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）
∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）
【變式1】如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．
課后作業
一、填空：
1、等腰三角形的的兩邊長為4cm和9cm，則該等腰三角形的周長為______cm。
2、等腰三角形的周長為20?cm，一邊長為6?cm，則底邊長為___________。
3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角為_____。
4、已知BD是等腰△ABC的角平分線，如果∠A=80°，那么∠ADB等于____。
5、如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA4的長度為_________。
6、如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中點，DE⊥AC.? 則AB?:?AE＝____________。
7、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你認為正確的序號都填上）。
第6題圖 第7題圖
二、選擇題
1. 若一個三角形的三個外角度數比為2：3：3，則這個三角形是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
2. 將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數是（ ）
圖1
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
3. 如圖2，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．108°
圖2 圖3
4. 如圖3，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
5. 在△ABC中，AB=AC，下列推理中錯誤的是（???）
A、如果AD是中線，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC?
B、如果BD是高，那么BD是角平分線?
C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC?
D、如果AD是角平分線，那么AD也是BC邊的垂直平分線
三、解答題
1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數，求各邊長。
2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數。
（2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。
3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。
4、 如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。 求證：AE＝CD。
5、如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求∠A的度數
6、“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學給出了如下論斷：
甲：正確。因為若兩邊都是直角邊，則用（SAS）全等識別法就可以證它們全等。
乙：正確。因為若其中一邊是直角邊，另一邊是斜邊，則可用（HL）定理證全等。
丙：不正確。若一個三角形較長的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長的直角邊相等，則顯而易見兩個三角形不全等。
請你就這三個同學的見解發表自己的意見。
