一元二次方程的解法5篇
一元二次方程的解法(1)
22.2 .3一元二次方程的解法-公式法
教學目標：
1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。
2、使學生經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力。
3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。
重點難點：
1、難點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程；
2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時,代入求根公式常出符號錯誤。
教學過程：
一、復習舊知，提出問題
1、用配方法解下列方程：
（1）word/media/image1_1.png (2)word/media/image2_1.png
2、用配方解一元二次方程的步驟是什么？
3、用直接開平方法和配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢？
二、探索同底數冪除法法則
問題1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程word/media/image3_1.png配方呢?
教師引導學生用配方法解數字系數的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識：
因為word/media/image4_1.png，方程兩邊都除以word/media/image5_1.png，得
word/media/image6_1.png
移項，得
word/media/image7_1.png
配方，得
word/media/image8_1.png
即word/media/image9_1.png
問題2：當word/media/image10_1.png，且word/media/image11_1.png時，word/media/image12_1.png大于等于零嗎？
讓學生思考、分析，得出結論：當word/media/image10_1.png時，因為word/media/image11_1.png，所以word/media/image13_1.png，從而word/media/image14_1.png。
問題3：在研究問題1和問題2中，你能得出什么結論？
讓學生討論、交流，從中得出結論，當word/media/image10_1.png時，一般形式的一元二次方程word/media/image3_1.png的根為word/media/image15_1.png，即word/media/image16_1.png。
由以上研究的結果，得到了一元二次方程word/media/image3_1.png的求根公式：word/media/image16_1.png （word/media/image10_1.png）
這個公式說明方程的根是由方程的系數word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
思考：當word/media/image10_1.png時，方程有實數根嗎？
三、例題
例1、解下列方程：
1、2269450156a53152ebb904b99f81d836.png； 2、de4470d004ada76e16c240ed89c597a7.png；
3、12859857bc6798532c2a06285ba9b6d0.png； 4、467c4036a2c6253fbcf1e8e8c8cf814e3.png
教學要點：（1）對于方程（2），首先要把方程化為一般形式；
（2）強調確定word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png值時，不要把它們的符號弄錯；
（3）先計算word/media/image23_1.png的值，再代入公式。
例2、（補充）解方程word/media/image24_1.png
解：這里word/media/image25_1.png，word/media/image26_1.png，word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png
因為負數不能開平方，所以原方程無實數根。
讓學生反思以上解題過程，歸納得出：
當word/media/image29_1.png時，方程有兩個不相等的實數根；
當word/media/image30_1.png時，方程有兩個相等的實數根；
當word/media/image31_1.png時，方程沒有實數根。
四、課堂練習
1、Ｐ42練習。
2、閱讀Ｐ54“閱讀材料”。
小結:
根據你學習的體會，小結一下解一元二次方程一般有哪幾種方法？通常你是如何選擇的？和同學交流一下。
作業:略
一元二次方程的解法(2)
一元二次方程的解法歸納總結
一元二次方程的解法是每一個中學生都必須掌握的,共有5種解法,其中直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重點講解的四種方法,并沒有提到換元法,我們在這次歸納總結中給于詳細的講解.另外,還將介紹某些特殊的一元二次方程的解法.
在上面提到的四種解一元二次方程的方法中,直接開平方法是最直接的方法,因式分解法是最簡單的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最萬能的方法.
我們要根據一元二次方程的特點選擇合適的解法,如一元二次方程缺少一次項,選擇用直接開平方法求解;一元二次方程缺少常數項,選擇用因式分解法（缺常選因）求解.
一、直接開平方法
解形如word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）和word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的一元二次方程,用直接開平方法.
用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟:
（1）把一元二次方程化為word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）或word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的形式;
（2）直接開平方,把方程轉化為兩個一元一次方程;
（3）分別解這兩個一元一次方程,得到一元二次方程的兩個解.
注意:
（1）直接開平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不適合所有的一元二次方程的求解;
（2）對于一元二次方程word/media/image1.gif,當word/media/image5.gif時,方程無解;
（3）對于一元二次方程word/media/image3.gif:
word/media/image6.gif當word/media/image7.gif時,一元二次方程有兩個不相等的實數根;
word/media/image8.gif當word/media/image9.gif時,一元二次方程有兩個相等的實數根;
word/media/image10.gif當word/media/image11.gif時,一元二次方程沒有實數根.
例1. 解下列方程:
（1）word/media/image12.gif; （2）word/media/image13.gif.
分析:觀察到兩個方程的特點,都可以化為word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）的形式,所有選擇用直接開平方法求解.當一元二次方程缺少一次項時,考慮使用直接開平方法求解.
解:（1）word/media/image14.gif
word/media/image15.gif
∴word/media/image16.gif;
（2）word/media/image17.gif
word/media/image18.gif
∴word/media/image19.gif.
例2. 解下列方程:
（1）word/media/image20.gif; （2）word/media/image21.gif.
分析:觀察到兩個方程的特點,都可以化為word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的形式,所有選擇用直接開平方法求解.
解:（1）word/media/image22.gif
word/media/image23.gif
∴word/media/image24.gif或word/media/image25.gif
∴word/media/image26.gif;
（2）word/media/image27.gif
word/media/image28.gif
∴word/media/image29.gif
∴word/media/image30.gif或word/media/image31.gif
∴word/media/image32.gif.
習題1. 下列方程中,不能用直接開平方法求解的是 【 】
（A）word/media/image33.gif （B）word/media/image34.gif
（C）word/media/image35.gif （D）word/media/image36.gif
習題2. 若word/media/image37.gif,則word/media/image38.gif_________.
習題3. 若word/media/image39.gif為方程word/media/image40.gif的兩根,且word/media/image41.gif,則word/media/image42.gif 【 】
（A）word/media/image43.gif （B）word/media/image44.gif （C）1 （D）3
習題4. 解下列方程:
（1）word/media/image45.gif; （2）word/media/image46.gif.
習題5. 解下列方程:
（1）word/media/image47.gif; （2）word/media/image48.gif.
習題6. 對于實數word/media/image49.gif,我們用符號word/media/image50.gif表示word/media/image49.gif兩數中較小的數,如word/media/image51.gif.
（1）word/media/image52.gif_________;
（2）若word/media/image53.gif,則word/media/image54.gif_________.
習題7. 已知直角三角形的兩邊長word/media/image55.gif滿足word/media/image56.gif,求這個直角三角形第三邊的長.
（注意分類討論第三邊的長）
二、因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:
（1）移項 把方程的右邊化為0;
（2）化積 將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;
（3）轉化 令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程;
（4）求解 解這兩個一元一次方程,得到一元二次方程的兩個解.
例1. 用因式分解法解方程: word/media/image57.gif.
解: word/media/image58.gif
word/media/image59.gif
∴word/media/image60.gif或word/media/image61.gif
∴word/media/image62.gif.
例2. 用因式分解法解方程: word/media/image63.gif.
解: word/media/image64.gif
word/media/image65.gif
∴word/media/image66.gif或word/media/image67.gif
∴word/media/image68.gif.
例3. 解方程: word/media/image69.gif.
解: word/media/image70.gif
word/media/image71.gif
∴word/media/image72.gif.
例4. 解方程: word/media/image73.gif.
解: word/media/image74.gif
word/media/image75.gif
∴word/media/image67.gif或word/media/image61.gif
∴word/media/image76.gif.
因式分解法解高次方程
例5. 解方程: word/media/image77.gif.
解: word/media/image78.gif
word/media/image79.gif
∴word/media/image67.gif或word/media/image66.gif或word/media/image80.gif或word/media/image81.gif
∴word/media/image82.gif.
例6. 解方程: word/media/image83.gif.
解: word/media/image84.gif
word/media/image85.gif
∵word/media/image86.gif
∴word/media/image87.gif
∴word/media/image67.gif或word/media/image66.gif
∴word/media/image88.gif.
用十字相乘法分解因式解方程
對于一元二次方程word/media/image89.gif,當word/media/image90.gif≥0且word/media/image91.gif的值為完全平方數時,可以用十字相乘法分解因式解方程.
例7. 解方程: word/media/image92.gif.
分析: word/media/image93.gif,其結果為完全平方數,可以使用十字相乘法分解因式.
解: word/media/image94.gif
∴word/media/image81.gif或word/media/image61.gif
∴word/media/image95.gif.
例8. 解方程: word/media/image96.gif.
分析: word/media/image97.gif,其結果為完全平方數,可以使用十字相乘法分解因式.
解: word/media/image98.gif
∴word/media/image99.gif或word/media/image100.gif
∴word/media/image101.gif,word/media/image102.gif.
例9. 設方程word/media/image103.gif的較大根為word/media/image104.gif,方程word/media/image105.gif的較小根為word/media/image106.gif,求word/media/image107.gif的值.
解: word/media/image103.gif
word/media/image108.gif
∴word/media/image66.gif或word/media/image109.gif
∴word/media/image110.gif
∵word/media/image104.gif是該方程的較大根
∴word/media/image111.gif
word/media/image105.gif
word/media/image112.gif
∴word/media/image66.gif或word/media/image113.gif
∴word/media/image114.gif
∵word/media/image106.gif是該方程的較小根
∴word/media/image115.gif
∴word/media/image116.gif.
習題1. 方程word/media/image117.gif的根是__________.
習題2. 方程word/media/image118.gif的根是__________.
習題3. 方程word/media/image119.gif的解是__________.
習題4. 方程word/media/image120.gif的解是__________.
習題5. 如果word/media/image121.gif,那么word/media/image122.gif的值為 【 】
（A）2或word/media/image123.gif （B）0或1
（C）2 （D）word/media/image123.gif
習題6. 方程word/media/image124.gif的根是__________.
習題7. 已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程word/media/image125.gif的根,則該三角形的周長為__________.
習題8. 解下列方程:
（1）word/media/image126.gif; （2）word/media/image127.gif;
（3）word/media/image128.gif; （4）word/media/image129.gif.
習題9. 解下列方程:
（1）word/media/image130.gif; （2）word/media/image131.gif.
習題10. 解方程: word/media/image132.gif.
三、配方法解
用配方法解一元二次方程word/media/image133.gifword/media/image134.gif共分六步:一移、二化、三配、四開、五轉、六解.
（1）一移 把常數項移到方程的右邊,注意變號;
word/media/image135.gif
（2）二化 在方程的左右兩邊同時除以二次項系數word/media/image104.gif,化二次項系數為1;
word/media/image136.gif
（3）三配 即配方,把方程的左邊配成完全平方的形式,需要在方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方;
word/media/image137.gif
word/media/image138.gif
（4）四開 直接開平方;
word/media/image139.gif （注意:當word/media/image90.gif≥0時方程有實數根）
（5）五轉 把第（4）步得到的結果轉化為兩個一元一次方程;
word/media/image140.gif或word/media/image141.gif
（6）解 解這兩個一元一次方程,得到一元二次方程的兩個解.
word/media/image142.gif.
說明:由上面配方的結果可以確定一元二次方程有實數根的條件和求根公式:
一元二次方程word/media/image133.gifword/media/image134.gif有實數根的條件是word/media/image90.gif≥0,求根公式為:
word/media/image143.gif.
例1. 用配方法解方程: word/media/image144.gif.
解: word/media/image145.gif
word/media/image146.gif
∴word/media/image147.gif或word/media/image148.gif
∴word/media/image149.gif.
例2. 解方程: word/media/image150.gif.
分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步驟,在移項之后,要化二次項系數為“1”.
解: word/media/image151.gif
word/media/image152.gif
word/media/image153.gif
∴word/media/image154.gif或word/media/image155.gif
∴word/media/image156.gif.
例3. 用配方法解關于word/media/image122.gif的方程:
word/media/image157.gif（word/media/image158.gif≥0）.
解: word/media/image159.gif
word/media/image160.gif
∴word/media/image161.gif
∵word/media/image158.gif≥0
∴word/media/image162.gif.
說明:
word/media/image158.gif≥0既是二次根式word/media/image163.gif有意義的條件,也是一元二次方程word/media/image157.gif有實數根的前提.因此把word/media/image158.gif叫做一元二次方程word/media/image157.gif的根的判別式.
習題1. 用配方法解方程word/media/image164.gif,配方后的方程是 【 】
（A）word/media/image165.gif （B）word/media/image166.gif
（C）word/media/image167.gif （D）word/media/image168.gif
習題2. 若方程word/media/image169.gif可以通過配方寫成word/media/image170.gif的形式,那么word/media/image171.gif可以配成 【 】
（A）word/media/image172.gif （B）word/media/image173.gif
（C）word/media/image174.gif （D）word/media/image175.gif
習題3. 用配方法解方程:
（1）word/media/image176.gif; （2）word/media/image177.gif;
（3）word/media/image178.gif; （4）word/media/image179.gif.
四、公式法
一元二次方程的求根公式
一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）的求根公式為:
word/media/image143.gif（word/media/image181.gif≥0）
當word/media/image182.gif時,一元二次方程無實數根.
例1. 證明一元二次方程的求根公式.
分析:用配方法可以證明一元二次方程的求根公式.
證明: word/media/image133.gif
word/media/image183.gif
∴word/media/image140.gif或word/media/image184.gif
∴word/media/image142.gif
即一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）的根為word/media/image143.gif（word/media/image181.gif≥0）.
注意:當word/media/image181.gif≥0時,一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）有實數根;當word/media/image182.gif時,二次根式word/media/image185.gif無意義,方程無實數根.
公式法解一元二次方程的一般步驟:
用公式法解一元二次方程的一般步驟是:
（1）把一元二次方程化為一般形式;
（2）確定word/media/image186.gif的值,包括符號;
（3）當word/media/image181.gif≥0時,把word/media/image186.gif的值代入求根公式求解;當word/media/image182.gif時,方程無實數根.
例1. 用公式法解方程: word/media/image187.gif.
分析:用公式法解一元二次方程時要先將方程化為一般形式,并正確確定word/media/image186.gif的值,包括符號.
解: word/media/image188.gif
∴word/media/image189.gif
∴word/media/image190.gif
∴word/media/image191.gif.
例2. 解下列方程:
（1）word/media/image192.gif; （2）word/media/image193.gif.
解:（1）word/media/image194.gif
word/media/image195.gif
∴word/media/image196.gif
∴word/media/image197.gif;
（2）word/media/image198.gif
word/media/image199.gif
∴word/media/image200.gif
∴word/media/image201.gif.
說明:當word/media/image202.gif時,一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）有兩個相等的實數根.
例3. 解方程: word/media/image203.gif.
解: word/media/image204.gif
∴word/media/image205.gif
∴word/media/image206.gif.
用公式法解一元二次方程獲得的啟示
對于一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）,可以用word/media/image186.gif的值確定方程解的情況以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式word/media/image185.gif有意義的條件即為方程有解的條件:當word/media/image181.gif≥0時,二次根式word/media/image185.gif,一元二次方程有實數根;當word/media/image182.gif時,二次根式word/media/image185.gif無意義,一元二次方程無實數根.
（1）當word/media/image207.gif時,一元二次方程有兩個不相等的實數根;
（2）當word/media/image202.gif時,方程有兩個相等的實數根.
把word/media/image181.gif叫做一元二次方程根的判別式,用“word/media/image91.gif”表示,所以word/media/image208.gif.在不解方程的前提下,可以由word/media/image91.gif的符號確定一元二次方程根的情況.
習題1. 解方程:
（1）word/media/image209.gif; （2）word/media/image210.gif;
（3）word/media/image211.gif; （4）word/media/image212.gif.
習題2. 已知word/media/image104.gif是一元二次方程word/media/image213.gif的兩個實數根中較小的根.
（1）求word/media/image214.gif的值;
（2）化簡并求值: word/media/image215.gif.
五、換元法
解某些高次方程或具有一定結構特點的方程時,我們可以通過整體換元的方法,把方程轉化為一元二次方程進行求解,從而達到降次或變復雜為簡單的目的.
換元法的實質是換元,關鍵是構造元和設元,體現的是轉化化歸思想.
用換元法解某些高次方程
例1. 解方程: word/media/image216.gif.
分析:這是一元四次方程,可設word/media/image217.gif（注意: word/media/image218.gif≥0）,這樣通過換元就把原方程轉化為關于
word/media/image218.gif的一元二次方程.
解:設word/media/image217.gif,則有: word/media/image218.gif≥0
∴word/media/image219.gif
word/media/image220.gif
∴word/media/image221.gif或word/media/image222.gif
∴word/media/image223.gif
∵word/media/image218.gif≥0
∴word/media/image224.gif（word/media/image225.gif舍去）
∴word/media/image226.gif
∴word/media/image227.gif.
用換元法解具有一定結構特點的方程
例2. 解方程: word/media/image228.gif.
分析:注意到該方程中整體word/media/image229.gif出現了兩次,可整體設元,從結構上簡化方程.
解:設word/media/image230.gif,則有: word/media/image231.gif
word/media/image232.gif
∴word/media/image233.gif或word/media/image234.gif
∴word/media/image235.gif
∴word/media/image236.gif或word/media/image237.gif
∴word/media/image238.gif.
例3. 解方程: word/media/image239.gif.
分析:本題中的方程若展開整理,則得到的是一個高次方程,但方程本身具有非常明顯的結構特點,可整體換元,不用展開即可得到一個簡潔的一元二次方程.
解:設word/media/image240.gif,則有: word/media/image241.gif
word/media/image242.gif
∴word/media/image243.gif或word/media/image244.gif
∴word/media/image245.gif
∴word/media/image246.gif或word/media/image247.gif
解方程word/media/image246.gif得: word/media/image248.gif;
解方程word/media/image247.gif得: word/media/image249.gif
綜上,原方程的解為word/media/image250.gif.
例4. 解方程: word/media/image251.gif.
分析:方程中word/media/image252.gif與word/media/image253.gif互為倒數,若設word/media/image254.gif,則word/media/image255.gif,經過這樣的換元,最后可把原方程轉化為關于word/media/image256.gif的整式方程,且為一元二次方程.
解:設word/media/image254.gif,則有: word/media/image257.gif
整理得: word/media/image258.gif
word/media/image259.gif
∴word/media/image260.gif
∴word/media/image261.gif或word/media/image262.gif
由word/media/image261.gif得: word/media/image263.gif,此時方程無解;
由word/media/image262.gif得: word/media/image264.gif,解之得: word/media/image265.gif.
綜上,原方程的解為word/media/image265.gif.
例5. 解方程: word/media/image266.gif.
分析:設word/media/image267.gif,則word/media/image268.gif.
解: word/media/image266.gif
word/media/image269.gif
設word/media/image267.gif,則有: word/media/image270.gif
word/media/image271.gif
∴word/media/image272.gif或word/media/image273.gif
∴word/media/image274.gif
∴word/media/image275.gif或word/media/image276.gif
由word/media/image275.gif得: word/media/image277.gif,此時方程無解;
由word/media/image276.gif得: word/media/image278.gif,解之得: word/media/image279.gif.
綜上,原方程的解為word/media/image279.gif.
本題變式: 已知實數word/media/image122.gif滿足word/media/image266.gif,那么word/media/image280.gif的值是 【 】
（A）1或word/media/image281.gif （B）word/media/image123.gif或2 （C）1 （D）word/media/image281.gif
例6. 已知word/media/image282.gif,求word/media/image283.gif的值.
分析:整體設元:設word/media/image284.gif,則word/media/image285.gif≥0,據此注意根的取舍.
解:設word/media/image284.gif,則有: word/media/image285.gif≥0
∴word/media/image286.gif
整理得: word/media/image287.gif
解之得: word/media/image288.gif
∵word/media/image285.gif≥0 ∴word/media/image289.gif
∴word/media/image283.gif的值為3.
習題1. 解下列方程:
（1）word/media/image290.gif; （2）word/media/image291.gif.
習題2. 解方程: word/media/image292.gif.
習題3. 閱讀下面的材料,回答問題:
解方程word/media/image293.gif,這是一個一元四次方程,根據該方程的特點,它的解法通常是:
設word/media/image217.gif,則原方程變形為: word/media/image294.gif word/media/image6.gif
解之得: word/media/image295.gif
當word/media/image296.gif時, word/media/image297.gif ,解之得: word/media/image298.gif;
當word/media/image299.gif時, word/media/image300.gif ,解之得: word/media/image301.gif.
綜上,原方程的解為: word/media/image302.gif.
（1）在由原方程得到方程word/media/image6.gif的過程中,利用_________法達到_________的目的,體現了數學的轉化思想;
（2）解方程: word/media/image303.gif.
特殊一元二次方程的解法舉例
某些方程的解需采用特殊的處理和方法,下面列舉幾例.
例1. 解方程: word/media/image304.gif.
分析:若把該方程展開并整理,會得到一個一元四次方程,這不是我們想看到的結果.可使用換元法解該方程:設word/media/image305.gif,這樣就能把原方程轉化為關于word/media/image256.gif的一元二次方程.
解:設word/media/image305.gif,則原方程可轉化為: word/media/image306.gif
∴word/media/image307.gif
word/media/image308.gif
∴word/media/image233.gif或word/media/image309.gif
∴word/media/image310.gif
∴word/media/image311.gif或word/media/image312.gif
由word/media/image311.gif得: word/media/image313.gif,解之得: word/media/image314.gif;
由word/media/image312.gif得: word/media/image315.gif,此時方程無解.
綜上,原方程的解為word/media/image314.gif.
例2. 解方程: word/media/image316.gif.
解法1:當word/media/image122.gif≥0,原方程可化為: word/media/image317.gif,解之得: word/media/image318.gif（word/media/image319.gif舍去）;
當word/media/image320.gif時,原方程可化為: word/media/image321.gif,解之得: word/media/image322.gif（word/media/image323.gif舍去）.
綜上所述,原方程的解為word/media/image68.gif.
解法2:原方程可化為: word/media/image324.gif
∴word/media/image325.gif
∵word/media/image326.gif
∴word/media/image327.gif
∴word/media/image68.gif
∴原方程的解為word/media/image68.gif.
解法3:（圖象法）原方程可化為: word/media/image328.gif
設word/media/image329.gif,在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖象如圖所示.
word/media/image330_1.png
∵兩個函數的圖象有兩個交點word/media/image331.gif和word/media/image332.gif
∴方程word/media/image328.gif有兩個實數根,且根為word/media/image88.gif
∴原方程的解為word/media/image88.gif.
習題1. 參照例2的解法,解方程: word/media/image333.gif.
例3. 解方程: word/media/image334.gif.
解: word/media/image335.gif
∴word/media/image336.gif
設word/media/image337.gif,則有: word/media/image338.gif
∴word/media/image339.gif
∴word/media/image340.gif
當word/media/image341.gif時,解之得: word/media/image342.gif;
當word/media/image343.gif時,此時方程無解.
綜上所述,原方程的解為word/media/image342.gif.
習題2. 方程word/media/image344.gif的所有根的和為_________.
習題3. 已知實數word/media/image122.gif滿足word/media/image266.gif,那么word/media/image280.gif的值是 【 】
（A）1或word/media/image281.gif （B）word/media/image123.gif或2 （C）1 （D）word/media/image281.gif
一元二次方程的解法(3)
22.2 .3一元二次方程的解法-公式法
教學目標：
1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。
2、使學生經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力。
3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。
重點難點：
1、難點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程；
2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時,代入求根公式常出符號錯誤。
教學過程：
一、復習舊知，提出問題
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步驟是什么
3、用直接開平方法和配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢
二、探索同底數冪除法法則
問題1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程配方呢?
教師引導學生用配方法解數字系數的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識：
因為，方程兩邊都除以，得
移項，得
配方，得
即
問題2：當，且時，大于等于零嗎
讓學生思考、分析，得出結論：當時，因為，所以，從而。
問題3：在研究問題1和問題2中，你能得出什么結論
讓學生討論、交流，從中得出結論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。
由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
這個公式說明方程的根是由方程的系數、、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數、、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
思考：當時，方程有實數根嗎
三、例題
例1、解下列方程：
1、； 2、；
3、； 4、4
教學要點：（1）對于方程（2），首先要把方程化為一般形式；
（2）強調確定、、值時，不要把它們的符號弄錯；
（3）先計算的值，再代入公式。
例2、（補充）解方程
解：這里，，，
因為負數不能開平方，所以原方程無實數根。
讓學生反思以上解題過程，歸納得出：
當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根；
當時，方程沒有實數根。
四、課堂練習
1、Ｐ42練習。
2、閱讀Ｐ54“閱讀材料”。
小結:
根據你學習的體會，小結一下解一元二次方程一般有哪幾種方法通常你是如何選擇的和同學交流一下。
作業:略
一元二次方程的解法(4)
《一元二次方程的解法》教案?
一、教學目標
（一）知識教學點：認識形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）類型的方程，并會用直接開平方法解．
（二）能力訓練點：培養學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．
（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知．
二、教學重點、難點和疑點
1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．
2．教學難點：認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．
3．教學疑點：一元二次方程可能有兩個不相等的實數解，也可能有兩個相等的實數解，也可能無實數解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數），當c＞0時，有兩個不等的實數解，c＝0時，有兩個相等的實數解，c＜0時無實數解．
三、教學步驟
（一）明確目標
在初二代數“數的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節課的目的．
（二）整體感知
通過本節課的學習，使學生充分認識到：數學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數學問題的一種方法，本節課引進的直接開平方法是建立在初二代數中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數和初三代數起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節課的學習應深刻領會數學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發學生的創新意識．
一元二次方程的解法：開平方法
1．復習提問
（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？
（2）平方根的概念及開平方運算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移項，得x2＝4．
兩邊開平方，得x＝±2．
∴? x1＝2，x2＝-2．
分析? x2＝4，一個數x的平方等于4，這個數x叫做4的平方根（或二次方根）；據平方根的性質，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；所以這個數x為±2．求一個數平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數平方根的運算．
練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．
3．例1? 解方程9x2-16＝0．
解：移項，得：9x2=16，
此例題是在引例的基礎上將二次項系數由1變為9，由此增加將二次項系數變為1的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題
負根．
例2? 解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一個整體y．
例2把引例中的x變為x+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，
兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現一種轉化的思想．
練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數的平方，而是含有未知數的代數式的平方，而右邊是個非負實數，采用直接開平方法便可以求解．
例3? 解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移項，得：（2-x）2＝81．
兩邊開平方，得：2-x=±9
∴? 2-x＝9或2-x＝-9．
∴? x1=-7，x2＝11．
練習：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
（四）總結、擴展
1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負常數，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0）．
2．一元二次方程可能有兩個不同的實數解，也可能有兩個相同的實數解，也可能無實數解．
一元二次方程的解法：配方法
例1 解一元二次方程x2-64x+768=0
移項→x2-64x= -768
兩邊加（）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左邊寫成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16。 可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根。
例2．解下列關于x的方程
（1） x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
（3） x2-8x+7=0 （4）（1+x）2+2（1+x）-4=0
探索新知
像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．
配方法歸納
1 一元二次方程x2+px+q=0用配方法求解時,轉化為，然后用開平方法求解。
2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用配方法求解時，首先將二次項系數化為1，即轉化為
,再配成,最后用開平方法求解。
綜合提高題
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
一元二次方程的解法：公式法
例 已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導它的兩個根x1=，x2=
公式法：
（1）當時，一元二次方程有實數根
，；
（2）當時，一元二次方程有實數根
；
（3）當時，一元二次方程無實數根．
練習 用公式法解下列一元二次方程
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0
（4）x2-2x+1=0 （5）0.4x2-0.8x=1 （6）y2+y-2=0
一元二次方程的解法：因式分解法
1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3 所謂因式分解法，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單。
例1? 解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步
∴? x＝0或x＋2＝0……第二步
∴? x1=0，x2=-2．
例3 解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．
∴? x-2＝0或3-x＝0．
∴? x1＝2，x2＝3．
練習：解下列關于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
一元二次方程的解法(5)
課題：1.2一元二次方程的解法 (4)
班級 姓名
【學習目標】
1、會用公式法解一元二次方程.
2、用配方法推導一元二次方程的求根公式，明確運用公式求根的前提條件是b2－4ac≥0．
【重點難點】
重點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程。
難點：掌握一元二次方程的求根公式及代入時的符號問題.
【新知導學】
讀一讀：閱讀課本P14-P16
想一想:
1. 用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
2. 用配方法解一元二次方程
因為，方程兩邊都除以，得
把常數項移到方程右邊，得
配方，得 即
當 時 ，
即 。
3.在上述配方過程中，若＜0時，方程有實數根嗎？
練一練：
1.方程4-x2=3x中a= ，b= ，c= ， b2-4ac=
2. 用公式法解方程
【新知歸納】
一般的，對于一元二次方程
（1） 當_____________時，它的實數根是_________________.這個公式叫一元二次方程的求根公式，利用這個公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（2） 當_____________時，方程沒有實數根。
【例題教學】
例1.用公式法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
例2.已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，當x取何值時y1＝y2？
【當堂訓練】
1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（ ）
A.x= B. x=
C. x= D. x=
2.用公式法解下列方程：
（１）； （２）
（3） （4）
3.當x為何值時，代數式2x2—5與代數式2x+7的值相同。
【課后鞏固】
1.一元二次方程中，a= ,b= ,c= , = 。
2.用公式法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
3. 已知等腰三角形的邊長是方程的兩個根，求這個三角形的周長。
4.拓展
（1）解方程。 （2）解關于的方程（為常數）
一批日期
9、
二批日期
9、
教師評價
家長簽字
課后反思：
